行知高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（文科）试卷
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，总计 60 分）
1．复数(2＋i)2等于( )
A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i
2．设 y＝e3，则 y′等于（ ）
A．3e2 B．0 C．e2 D．E3
3．设点P的直角坐标为 ( 3,3) ，以原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 (0 ≤ θ< 2) ，则点P的 极坐标为（ ）
A．(3, ) B．( 3, ) C．(3, ) D．( 3, )
4．下列求导运算不正确的是（ ）
A．(x2)′ = 2x B．(ex+ ln3)′ = ex+
C．(3x)′ = 3xln3 D．(sinx)′ = cosx
5．函数y= x lnx的单调递减区间为（ ）
A．( 1,1] B．(0, + ∞) C．[1, + ∞) D．(0,1]
6．在极坐标系中，若点 A(3, ), B( 3, ) ，则AOB的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
7．设复数 z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，则复数 z1－z2在复平面内的对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a的值为（ ）
A． B． C．3 D． 3
9．已知函数 f(x) 在R上有导函数， f(x) 图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′ (a) < f′ (b) < f′ (c) B．f′ (b) < f′ (c) < f′ (a)
C．f′ (a) < f′ (c) < f′ (b) D．f′ (c) < f′ (a) < f′ (b)
10．在极坐标系中，点 A（1，π）到直线ρcosθ=2 的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．记函数 f(x) 的导函数为 f′ (x) ，且f(x) = 3xf′ (2) 2lnx ，则 f(1) = （ ）
A．1 B．2 C． D．
12．已知f′ (x) 是函数 f(x) ( x∈ R且x≠ 0 )的导函数，当 x > 0 时， xf′ (x) f(x) < 0 ，记a= ,b=,c=，则（ ）
A．a< b
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分，总计 20 分）
13．若复数z满足z + i=，则|z| = .
14．登山族为了了解某山高y（km）与气温 x(° ) 之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温，并制作了对照表：
由表中数据，得到线性回归方程= 2+ 60( ∈ R) ，则 = ．
15．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有 97.5%的把握但没有 99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则 2的观测值可能为________(写一个你认为对的值即可)
16．已知函数Y= f(x) 的图象在点 (1, f(1)) 处的切线方程为x 2y + 1 = 0 ，则f(1) + 2f′ (1) 的值为 .
三．解答题（共 6 小题，总计 70 分）
17．已知复数z=（2m2 3m 2） + （m2 3m+ 2）i．
（Ⅰ）当实数 m 取什么值时，复数 z 是：
①实数；
②纯虚数；
（Ⅱ）当m= 0 时，化简．
18．已知函数 f(x) = x2+xlnx
（Ⅰ）求这个函数的导数 f′ (x) ；
（Ⅱ）求这个函数在 x= 1 处的切线方程.
19．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为= 2sinθ ，直线l的极坐标方程为θ=θ0( ∈ R) ，曲线C与直线l 相交于A, B两点.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）当 θ0 = 时，求 |AB| .
20．某商场为提高服务质量，随机调查了 20 名男顾客和 20 名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分 100 分）绘制了如图所示的茎叶图．
附：K2=,n = a+b +c +d．
（1）根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由．
（2）将这 40 名顾客的评分的中位数记为m，求m，并将评分超过m和不超过m的顾客数填入下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，能否有 90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？
21．已知曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 直线 l 过点 M（1，0），倾斜角为
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程；
（Ⅱ）若曲线 C 经过伸缩变换后得到曲线 C′，且直线 l 与曲线 C′交于 A，B 两点，求|MA|+|MB|．
22．已知：f(x) = ex+ mx.
（1）当m= 1 时，求曲线y= f(x)的斜率为 2 的切线方程；
（2）当x≥ 0 时，f(x) ≥ x2+ 成立，求实数 m 的范围行知高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
文科数学答案
分值（满分）：150分 时间：120分钟
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】D
12．【答案】C
13．【答案】
14．【答案】64
15．【答案】5.024~6.635选取一个值
16．【答案】2
17．【答案】解：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．
②当时，解得，
即m=﹣时，复数z为纯虚数．
（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，
∴．
18．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ；
（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是 ，
又 ，所以切线方程为 ，整理得 .
19．【答案】（1）解：由 ，即 ，所以 ，
所以曲线 的直角坐标系方程为
（2）解：解一： 时， .
解二：曲线 的标准方程为 ，直线 的方程为 ，
20．【答案】（1）解：男顾客对该商场的服务质量更认可．
理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，故男顾客对该商场的服务质量更认可．
（2）解：由茎叶图可知，．
列联表如下：
超过 不超过
男顾客 11 9
女顾客 7 13
（3）解：
故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
21．【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，
∵直线l过点M（1，0），倾斜角为 ，
∴直线l的参数方程为 ，即 ，（t是参数）．
（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′，
∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，
把直线l的参数方程 ，（t是参数）代入曲线C′：（x﹣2）2+y2=4，
得： ，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2= ，t1t2=﹣3，
|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = = ．
22．【答案】（1）解：当时，，
则，
设切点为，
故，
解得，
故，
即切点坐标为，
所以切线方程，即；
（2）解：当时，成立，
即恒成立，
设，
，
，
因为，故恒成立，
则在上单调递增，
所以，
当时，恒成立，
故在上单调递增，
即，
所以，解得，
故；
当时，，
，
设，，
恒成立，
则在上单调递减，所以，
即，
所以存在，使，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
解得，即，
设，，
恒成立，
故在上单调递减，
故，
即，
所以，
综上所述，.