苏科版九年级上册2.4 圆的内接四边形（第3课时）课件(共15张PPT)

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第2章 对称图形——圆
2.4 第3课时 圆的内接四边形
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．
　　如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心．
C
A
B
O
知识回顾
　　问题1：过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
能，经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆.
问题2：经过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
不一定，比如菱形的四个顶点不在同一个圆上.
情景导入
　　一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
如图，四边形ABCD是 ，
⊙O是 ．
⊙O的内接四边形
四边形ABCD的外接圆
获取新知
　　1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
∵ BD是⊙O的直径,
∴ ∠A=∠C=90 ,
则∠A+∠C=180 .
∵ 四边形ABCD的内角和为360 ,
∴ ∠ADC+∠ABC=360 =180 .
思考与探究
　　2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？
E
连接DO，延长DO交⊙O于点E,
连接AE，CE. 则∠DAE=∠DCE=90 .
∴ ∠ADC+∠AEC=180 .
∴ ∠ADC+∠ABC=180 .
∵ ∠ABC=∠AEC.
∴ ∠DAB+∠BCD=180 .
思考与探究
仍然成立. 理由：
方法一：
　　2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？
思考与探究
方法二：
连接OD，OB.
∴ ∠DAB+∠BCD=180 .
根据圆周角定理，可知
1
2
圆内接四边形性质定理：
圆内接四边形的对角互补．
用符号语言描述这个定理:
∵ 四边形ABCD是⊙O内接四边形,
∴ ∠A+∠C=180°,
∠B+∠D=180°.
归纳总结
∵∠A＋∠DCB＝180°，
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
归纳：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
　　例　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在AD上，求∠E的度数．
例题讲解
解：连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B∠C＝180°.
∴∠B180°∠C=180°110°＝70°，
∵AB＝AD,
∴∠ABD=∠ADB=.
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠∠E＝180°.
∴∠180°∠ABD=180°°＝125°.
随堂演练
1.（2021 常德）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　　．
140°
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝115°，则另一个外角∠DAF的度数为（　　）
A．75° B．65° C．55° D．45°
B
3.若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4
B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4
D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
C
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°．求证：△CDE是等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CDA+∠B＝180°，
∵∠B＝50°，
∴∠CDA＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CDA＝180°﹣130°＝50°.
∵∠DCB＝100°，
∴∠CDE+∠E＝100°，
∴∠E＝50°，
∴∠E＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等腰三角形．
课堂小结
圆内接四边形的对角互补
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
圆的内接四边形