苏科版数学九年级上册 1.3 一元二次方程根与系数的关系 同步课件（共16张PPT）

第1章 一元二次方程
1.3 一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.当 时，方程的解是什么？
求根公式：　　　　
知识回顾
ax?+bx+c=0
x?-3x+2=0
x?+3x+2=0
x?-5x+6=0
x?+5x+6=0
x?-2x=0
1
2
3
2
2
-2
-3
-1
6
3
5
2
-2
-3
-5
6
0
2
2
0
1.完成下表并观察下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？
若二次项系数为1，
则两根的积与常数项相等，

两根的和与一次项系数互为相反数．
获取新知
发现：
2.方程 的两根是
这两根的和、两根的积与系数有什么关系？
3.先求出方程 的解，再验证这个方程的两根与系数是否具有你刚刚发现的关系.
思考：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），
的两个根分别x1、x2，那么它们的和与差与系数有什么关系？
你能证明刚才的发现吗？
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），
当 b2－4ac≥0 时，它的两个根分别是 x1、x2．
设它的两个根分别是 x1、x2，那么
这就是一元二次方程根与系数的关系（也叫韦达定理）
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）当 b2-4ac≥0 时，
归纳总结
一元二次方程的根与系数有如下关系：
对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）
两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的商的相反数；
两根之积等于常数项c除以二次项系数a所得的商.
当二次项系数不为1时，
两根之和等于一次项系数b的相反数；
两根之积等于常数项c.
特别地，二次项系数为1时，方程变为x2＋bx＋c＝0
语言描述
（1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1.
例题讲解
例1：求下列方程两根的和与两根的积：
解：（1）设方程的两根分别是x1、x2.
∵ a=1,b=2,c=?5，
?
∴??x1 + x2 = ?????????=?2 ,
?
??????x1 ?x2 = ????????=?5 .
?
（2）把方程化成一般形式，得
2????2+?????1=0.
?
∵ a=2,b=1,c=?1，
?
∴??x1 + x2 = ?????????=?12 ,
?
??????x1 ?x2 = ????????=?12 .
?
设方程的两根分别是x1、x2.
例2：求下列方程两根的和与两根的积： x2＋2x+2＝0.
解：∵ a=1,b=2,c=2，
?
b2-4ac=22-4×1×2=-4<0,
∴方程没有实数根.
?
能直接套用公式吗？
则不存在方程两根之和与两根之积.
?
在使用根与系数的关系时，应注意：
(2)利用公式的前提条件为 b2-4ac≥0；
(3)在使用 时，注意“－”不要漏写.
（1）方程要先化成一般式；
点拨
例3：已知方程 5x2+kx?6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
?
解：∵ a=5,b=????,c=?6，
?
设方程的两根分别是x1、2.
∴??x1 + 2= ?????????=?????5 ,
?
?????2x1 = ????????=?65 .
?
∴??x1 = ?35 ,k=?7.
?
1. 求下列方程两根的和与两根的积：
随堂演练
x1 + x2 = 4 ,
??????x1 ?x2 = 1.
?
?x1 + x2 = 32 ,
?
??????x1 ?x2 = ?1.
?
?x1 + x2 = ?23 ,
?
??????x1 ?x2 = 0.
?
x1 + x2 = 0 ,
??????x1 ?x2 = ?14.
?
2. 下列结论是否正确？
(1)?错? x1 + x2 = ?????????=?5 ；
?
(2)?错? x1 ? x2 = ????????=?1 .
?
你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？
3.小明在一本课外读物中读到如下一段文字：
一元二次方程x2－ x ＝0 的两根是 和 ．
解：∵a=1, x1 + x2 = ?????????=????? ,
?
∴2+3+2?3= =?????,2+32?3=????.
?
∴??????=?4,????=1.
?
??????x1 ?x2 = ????????=???? .
?
∴一次项系数是?4,常数项是1.
?
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
注意
方程要先化成一般式
利用公式的前提条件为 b2-4ac≥0
在计算两根系数之和时不要丢掉负号