苏科版数学九年级上册 1.2 第5课时 一元二次方程根的判别式 同步课件（共19张PPT）

第1章 一元二次方程
1.2 第5课时 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程的求根公式是什么?
知识回顾
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
（3）求出b2 －4ac 的值，
（1）把方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0）；
（5）写出方程的解：x1=？、x2=？．　　　　
特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．
（4）代入求根公式：　　　　　　　　
（2）写出a、b、c 的值.
情景引入
问题：老师写了3个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小华突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？
(1) x2＋x－1＝0 ；
(2) 　　　　　　　 ；
(3) 2x2－2x＋1＝0．
例1 解下列方程：
获取新知
(1) x2＋x－1＝0 ；(2) 　　　　　　　 ；(3) 2x2－2x＋1＝0．
解：（1）∵ a=1,b=1,c=-1，
b2-4ac=12-4×1×(-1)=5,
∴????=?1±52×1=?1±52，
?
∴??x1 = ?1+52, x2 = ?1?52.
?
例1 解下列方程：
(1) x2＋x－1＝0 ；(2) 　　　　　　　 ；(3) 2x2－2x＋1＝0．
∴????=23±02×1=3，
?
∴??x1 = x2 = 3.
?
解：（2）∵ a=1,b= ,c=3，
b2-4ac=( )2-4×1×3=0,
（3）∵ a=2,b=-2,c=1，
b2-4ac=(-2) 2-4×2×1=-4＜0,
∴??这个方程没有实数根.
?
探 索 思 考
1.观察上述方程的根的情况，
方程(1)有 实数根，此时b2-4ac 0；
方程(2)有 实数根，此时b2-4ac 0；
方程(3) 实数根，此时b2-4ac 0.
两个不相等的
两个相等的
没有
2.能否不解方程得出方程的解的情况呢？
＞
=
＜
一元二次方程 的根的情况可由 来判定，称之为根的判别式.
提 炼 总 结
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况如下：
(1) 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
(3)当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
归纳总结
根的判别式
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况．
反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号．
即有：
b2-4ac ＞０
方程有两个不相等的实数根
b2-4ac ＝０
方程没有实数根
方程有两个相等的实数根
b2-4ac＜０
方程有两个实数根
归纳总结
b2-4ac≥0
(1) x2＋3x－1＝0；
(2) x2-6x+5＝0；
例1. 不解方程，判别下列方程根的情况．
例题讲解
解：（1）∵ a=1,b=3,c=－1，
b2-4ac=32－4×1×(－1)=13>0,
∴?方程有两个不相等的实数根 .
?
（2）∵ a=1,b=－6,c=5，
b2-4ac=（－6）2－4×1×5=16>0,
∴?方程有两个不相等的实数根 .
?
(3)2y2－3y＋4＝0；
(4)x2+5＝2???? x ．
?
例1. 不解方程，判别下列方程根的情况．
解：（3）∵ a=2,b=－3,c=4，
b2-4ac=（－3）2－4×2×4=－23<0,
?
∴?方程没有实数根 .
?
（4）把方程化成一般形式，得

????2?25????+5=0.
?
∵ a=1,b=－25,c=5，
?
b2-4ac=（－25）2－4×1×5=0,
?
∴?方程有两个相等的实数根 .
?
求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
例2. 当k取什么值时，关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根？并求此时方程的根.
解：∵ a=1,b=－k,c=4，
∴b2-4ac=(－k)2－4×1×4=k2－16,
∴? k2-16=0，即k=±4.
?
当k=4?时，????2?4????+4=0，解这个方程得 x1 = x2 =2 .
?
当k=?4?时，????2+4????+4=0，解这个方程得 x1 = x2 =?2 .
?
∵ 方程有两个相等的实数根，
1.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0有实数根，则 k 的取值范围是 ( )．
A．k≤－1 B．k≥－1
C．k＜－1 D．k＞－1
B
随堂演练
一元二次方程有实数根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
b2-4ac ＞０
b2-4ac ＝０
b2-4ac ≥０
2.（2021?滨州）下列一元二次方程中，无实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0
C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
D
3. 不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0；　　

解：∵a＝2，b＝3，c＝-4，
∴b2－4ac＝32－4×2×(-4)＝9＋32＝41＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)16y2＋9＝24y；
解：原方程化为16y2－24y＋9＝0.
∵a＝16，b＝-24，c＝9，∴b2－4ac＝(-24)2－4×16×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
解：原方程化为5x2－7x＋5＝0.
∵a＝5，b＝-7，c＝5，
∴ b2－4ac＝(-7)2－4×5×5＝49－100＝-51<0，
∴原方程无实数根．
(3)5(x2＋1)－7x＝0.
4.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，
∴ b2－4ac＝(－2)2－4(k－1)＞0，
解得k＜2.
课堂小结
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(b2－4ac)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}判别式的情况
根 的 情 况
定 理 与 逆 定 理
b2－4ac＞0
两个不相等的实数根
b2－4ac＞0 两个不相等的实数根
b2－4ac＝0
两个相等的实数根
b2－4ac＝0 两个相等的实数根
b2－4ac＜0
无实数根
b2－4ac＜0 无实数根