2022年中考数学专题复习：二次函数综合--线段最大值(共14张PPT)

(共14张PPT)
二次函数综合
专题复习
——线段的最大值问题
1.如图，AB⊥BC，DE⊥AC，DF∥AB，请问△DEF与△CBA相似吗？若相似，请写出证明过程。
相关知识点：
2.锐角三角函数：
在Rt △ABC中，∠C=90°
sin∠A= =
cos∠A= =
tan∠A= =
相关知识点：
②AB= .
竖直线段
水平线段
上减下
右减左
① xA= .
① yA= .
②AB= .
3.与坐标轴垂直的线段：
xB
|yA-yB|
=yA-yB
|xB-xA|
=xB-xA
yB
例1(2019重庆B改编) 如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3与一次函数y＝－x＋3的图象交于B，C两点，点P是直线BC上方抛物线上一动点.
典型例题：
（1）过点P作PQ∥y轴
（2）过点P作PM∥x轴
设P（ ， )
∵PQ∥y轴
∴Q ( ， )
∴PQ= .
设P（ )
∵PM∥x轴
∴M ( ， )
∴PM = .
与坐标轴平行的线段： 竖直线段；水平线段
追问：你能求出PQ的最大值了吗？
竖直线段
水平线段
例2(2019重庆B改编) 如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3与一次函数y＝－x＋3的图象交于B，C两点，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC于点E.
求线段PE的最大值；
斜线段 竖直线段
改“斜”归正
典型例题：
D
Q
例2(2019重庆B改编) 如图，二次函数y＝－x2＋2x＋3与一次函数y＝－x＋3的图象交于B，C两点，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC于点E.
求线段PE的最大值；
改“斜”归正
典型例题：
D
Q
解：
过点P作PD⊥x轴于点D,
交直线BC于点Q.
设P(m, －m2＋2m＋3),
则Q(m, －m+3)
∴PQ=－m2＋2m＋3 － (－m+3)
=－m2＋3m
改“斜”归正
典型例题：
D
Q
∵B(3, 0),C(0, 3)
∴∠OBC=45°
∵PE⊥BC，PE⊥BC
∴∠EPQ=∠OBC=45°
在Rt△EPQ中
∴PE=PQ·cos∠EPQ
= （－m2＋3m）
∴当m= 时，PE取得最大值为
此时P( , )
方法一：特殊角
∵PE⊥BC，PE⊥BC
改“斜”归正
典型例题：
D
Q
∴∠EPQ=∠OBC
在Rt△EPQ和Rt△OBC中
∴cos∠EPQ=cos∠OBC
即
∴PE= = （－m2＋3m）
∴当m= 时，PE取得最大值为
此时P( , )
方法二：锐角三角函数
∵PE⊥BC，PE⊥BC
改“斜”归正
典型例题：
D
Q
∴∠PEQ=∠COB=90°,∠EPQ=∠OBC
∴Rt△EPQ∽Rt△OBC
∴
∴PE= = （－m2＋3m）
∴当m= 时，PE取得最大值为
此时P( , )
方法三：相似三角形
变式：如图，二次函数 与一次函数 的图象交于B，C两点，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，
变式：
(1) 求PE的最大值。
变式：如图，二次函数 与一次函数 的图象交于B，C两点，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，
变式：
(1) 求PE的最大值。
Q
(2) 过P作PQ∥y轴交BC于点Q，
求△PEQ的周长的最大值。
三角形周长 竖直线段
AB=|y2-y1|
=y1-y2
小结：
1.与坐标轴平行的线段： 竖直线段；水平线段
三角形周长 竖直线段
三角形面积 竖直线段
改“斜”归正
斜线段 竖直线段
3.
2.
线段的最大值 函数的最大值
AB=|xB-xA|
=xB-xA
练习:
(2021重庆A改编) 如图，二次函数与一次函数图象相交于A，B两点，点P是直线AB下方抛物线上一动点.过点P作PD⊥AB，垂足为D，PM∥x轴，交AB于点M.
（1）求线段PD的最大值；
（2）当△PDM的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDM周长的最大值。