北京版八年级数学下册15.4《以正方形为背景的几何探究》教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 北京版八年级数学下册15.4《以正方形为背景的几何探究》教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 142.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北京课改版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-13 12:45:16 | ||
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文档简介
教学基本信息
课题 《以正方形为背景的几何探究》
指导思想与理论依据
1.建构主义理论：建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助学习是获取知识的过程其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。在建构意义过程中要求学生主动去搜集并分析有关的信息和资料,要把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。在学习过程中帮助学生建构意义就是要帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间的内在联系达到较深刻的理解。2.数学课程标准《义务教育数学课程标准》指出：课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。本节课的学习从学生已有的认知经验出发，从变化的图形中分析出不变的几何特征，注重知识之间的联系，关注对题目深层次的思考，有效的发展学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养，提高分析问题解决问题的能力。
教学背景分析
【教材分析】《以正方形为背景的几何探究》的主要内容是以正方形为背景的几何问题探究，是在初中几何复习的一节专题复习课。几何综合题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质，挖掘几何图形中隐含的数量关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学思想才能解决.。正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点，与它有关的中考题经常出现。正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年的全国考题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.在能力培养上，无论是作图能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都能够得到培养和提高。是对之前所学过的几何内容的一个归纳和整理，对于知识方面有着很高的综合和提升，很考察学生的综合能力，是发展学生的逻辑推理及直观想象的核心素养的重要途径。另外，一题多变是数学解题方面的一个难点，对于同一个问题用不同的视角来观察会有不同的效果，但是对学生的识图、分析要求很高，对学生来说是一次挑战也是一次提升。本节课内容的选择是在充分发挥学生的小组合作，自主选题的能力的基础上，从各组选择的题目中挑选的有代表性，有挑战性的一道几何探究题，旨在发挥学生的主体作用的同时，让学生对枯燥的几何综合题提高兴趣，尤其是在选题的过程中的筛选、甄别工作，有效的调动了学生对几何综合题背景以及解题策略的分析，更是为学生创造性思维、发散性思维的培养提供了时间和空间，提高了学生学习数学的自信心。【学情分析】本班学生已经学习了三角形，四边形的相关知识，这对于解决以正方形为背景的综合题有很大的帮助。但由于学生的知识框架建立并不牢固，综合运用的能力还有欠缺，所以在处理综合题的时候，对学生而言的最大困难就是从自己所建立的知识框架中找到自己在题目中所需要的知识内容，能从复杂图形中发现图形的本质特征，抽象出基本图形。所以在授课过程中要多带领学生回忆题目相关的知识、数学思想方法和已有的解决问题的经验，并能够帮助学生建立知识之间的联系，形成解决问题的策略。
教学目标
知识与技能：（1）能够通过对图形的观察，把几何综合题“分解“为若干个基本问题和基本图形；（2）掌握基本图形的性质，从静态、动态不同角度去运用基本图形的性质解决问题。过程与方法：（1）通过分析基本图形的性质及图形中元素的内在联系，找到解题途径，发散思维、迁移联想，将未知问题转化为已知问题，提高学生解决几何综合题的能力；（2）通过从复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系，感悟解几何背景综合题的一般思考方法和解题策略，发展逻辑推理和直观想象的数学核心素养。情感态度与价值观：（1）在探究的学习过程中，养成细心观察、勤于思考、乐于探索的学习品质（2）通过几何画板的动态演示功能，形象直观的感受平面几何中的变化与恒等的规律特点。教学重点：综合基本图形的性质及图形中元素的内在联系，找到解题途径.教学难点：从复杂的图形中发现图形的本质特征，形成解题策略.
板书设计
以正方形为背景的几何探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
推荐问题探 究 例:在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点．（1）依题意补全图1；（2）若，求的度数；（3）如图2，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 对推荐的题目分析,回答,讨论 选题过程中的筛选、甄别工作，有效的调动了学生对几何综合题背景以及解题策略的分析，更是为学生创造性思维、发散性思维的培养提供了时间和空间，提高了学生学习数学的自信心.
教师指导展示部分学生的画图结进行纠正 【学生活动】：动手画图并说明作法 培养画图能力说明理由的同时提升学生步步有据的意识
【问题1】第一问，补全图形后分析发现什么结论，并说明原因. 【预设学生活动】1.线段相等2.角相等3.全等图形4.补全对称图形 通过分析对称图形及正方形的性质，更准确的把握图形的本质特征，为后面问题的解决做好铺垫.
【问题2】求出的度数后追问，还能否给出其它角的度数，进而求出未知角的度数。 2.展示计算推理结果【预设学生回答】1.给一个具体的角度，可以求出其他的角度.2.设一个角的度数为x,进而表示出其他的角度. 开放性问题的设置，引发学生更加深入的思考，发现角度之间隐含的关系，变中存在着不变的关系，为后续用不同方法解决直角问题打下基础.
根据学生的问题引导学生进行分析转化【问题3】如何求三条线段之间的数量关系？如何转化？本题求直角可以有什么方法？引导学生多种方法证直角 【学生活动】展示学生的画图，请部分同学展示自己的困惑和想法，师生共同解决【预设学生问题】1.不知道如何求三条线段之间的数量关系.2.知道求三条线段之间的数量关系的一般方法，但不知道如何转化线段.3.能够正确进行转化，但是不会证明直角 通过分析基本图形的性质及图形中元素的内在联系，找到解决问题的途径。通过将未知转化为已知问题的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.形成探究三条线段数量关系的解决策略。
【问题4】本题的入选理由，推荐词是什么？引导学生从知识点，数学思想方法，解题策略等方面进行归纳. 【预设学生回答】1.正方形、对称、全等三角形、直角三角形2.转化…… 明确题目的核心知识，感悟解几何背景综合题的一般思考方法和解题策略.
【问题5】还有什么想法？或者还想知道什么？若把条件改变或者去掉，结论还成立吗？ 若成立，请画图进行证明 【预设学生回答】1．解题策略2.把题目中的直线AP绕着A 点旋转，结论还成立吗？3.若把正方形变成等腰三角形或者是等边三角形会有哪些结论？4. 【学生活动】尝试进行画图并证明 开放性问题的设计，引发学生更加深入的思考，培养学生发散性思维.培养学生探究问题的意识.同时让学生对题目本身最本质的条件有了更及时深入的认识，提供了解决这一
课堂小 结 1. 引导学生从多角度总结本节课的所学2. 你还想到什么？ 【预设学生回答】知识解题策略数学思想方法…… 在归纳反思中巩固所学知识，梳理解决此类问题的方法策略
课后作业 1.完成课上的题后拓展.2.在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线于点E．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明. 课后独立完成． 通过参考例题的变式让学生能够认识到同一背景下的问题，可以如何进行变换。争取让学生自己能够举一反三.
学习效果评价设计
评价内容1是对知识与技能的评价，评价内容2、3和6是过程与方法的评价，评价内容4、5、7、8、9是对情感态度价值观的评价。从学生的角度来看，若评价内容1为C则还需深入学习；若评价内容2、3和6为2C及其以上则说明对数学的思想方法和解题能力有待提高；对于评价内容4、5、7、8、9，学生对于等级较低的选项内容认真分析，找到原因。 从教师的角度来看，若全班的评价内容1的C级等级率超过10%，则本节课没有达成知识与技能目标，需反思和调整教学；若全班评价内容2、3和6的C级等级率超过20%，则教师须关注学生对数学的思想方法的理解以及解题能力和方法；若全班的评价内容4、5、7、8、9的A级等级率超过80%，则说明学生的课堂参与度较高.
学习效果评价量规
评价方式 评价内容 评价等级
A B C
自评 1、课堂练习、达标测试正确性
2、独立思考获得解决问题的思路情况
3、反思的意识
4、合作交流的意识
5、学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难
组评 6、解决问题的方法
7、实事求是的态度
8、参与小组讨论的情况
9、帮助同学的情况
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1. 重视例题的选择，充分调动学生的主动性和积极性本节课的例题的选择是学生自己挑选的具有代表性的题目，旨在发挥学生的主体作用的同时，让学生对枯燥的几何综合题提高兴趣，尤其是在选题的过程中的筛选、甄别工作，有效的调动了学生对几何综合题背景以及解题策略的分析，更是为学生创造性思维、发散性思维的培养提供了时间和空间。另外，自己推荐的题目被选上，也让学生收获了成功的喜悦，对数学的学习充满了信心。2、重视数学知识本质的教学，渗透数学思想方法。深入的分析第一问中图形的特征和基本图形，以及在旋转过程中图形中保持不变的量，这些本质特征为解决第三问做好铺垫。再如，探究三条线段的数量关系的过程中，如何把三条线段转移到一个三角形中，渗透了转化的数学思想。3、重视开放性题目的设计，加深学生对知识的理解，激发思维的创造性。在题目解决完之后，提出若把条件改变或者去掉，结论还成立吗？如果把正方形改成等边三角形，还会有什么结论？题后设计的变式问题，有利于培养学生分析和解决问题的能力以及创新能力，激发学生的创造性思维。
分析：
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课题 《以正方形为背景的几何探究》
指导思想与理论依据
1.建构主义理论：建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助学习是获取知识的过程其他人(包括教师和学习伙伴)的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。在建构意义过程中要求学生主动去搜集并分析有关的信息和资料,要把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。在学习过程中帮助学生建构意义就是要帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间的内在联系达到较深刻的理解。2.数学课程标准《义务教育数学课程标准》指出：课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。本节课的学习从学生已有的认知经验出发，从变化的图形中分析出不变的几何特征，注重知识之间的联系，关注对题目深层次的思考，有效的发展学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养，提高分析问题解决问题的能力。
教学背景分析
【教材分析】《以正方形为背景的几何探究》的主要内容是以正方形为背景的几何问题探究，是在初中几何复习的一节专题复习课。几何综合题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质，挖掘几何图形中隐含的数量关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学思想才能解决.。正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点，与它有关的中考题经常出现。正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年的全国考题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.在能力培养上，无论是作图能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都能够得到培养和提高。是对之前所学过的几何内容的一个归纳和整理，对于知识方面有着很高的综合和提升，很考察学生的综合能力，是发展学生的逻辑推理及直观想象的核心素养的重要途径。另外，一题多变是数学解题方面的一个难点，对于同一个问题用不同的视角来观察会有不同的效果，但是对学生的识图、分析要求很高，对学生来说是一次挑战也是一次提升。本节课内容的选择是在充分发挥学生的小组合作，自主选题的能力的基础上，从各组选择的题目中挑选的有代表性，有挑战性的一道几何探究题，旨在发挥学生的主体作用的同时，让学生对枯燥的几何综合题提高兴趣，尤其是在选题的过程中的筛选、甄别工作，有效的调动了学生对几何综合题背景以及解题策略的分析，更是为学生创造性思维、发散性思维的培养提供了时间和空间，提高了学生学习数学的自信心。【学情分析】本班学生已经学习了三角形，四边形的相关知识，这对于解决以正方形为背景的综合题有很大的帮助。但由于学生的知识框架建立并不牢固，综合运用的能力还有欠缺，所以在处理综合题的时候，对学生而言的最大困难就是从自己所建立的知识框架中找到自己在题目中所需要的知识内容，能从复杂图形中发现图形的本质特征，抽象出基本图形。所以在授课过程中要多带领学生回忆题目相关的知识、数学思想方法和已有的解决问题的经验，并能够帮助学生建立知识之间的联系，形成解决问题的策略。
教学目标
知识与技能：（1）能够通过对图形的观察，把几何综合题“分解“为若干个基本问题和基本图形；（2）掌握基本图形的性质，从静态、动态不同角度去运用基本图形的性质解决问题。过程与方法：（1）通过分析基本图形的性质及图形中元素的内在联系，找到解题途径，发散思维、迁移联想，将未知问题转化为已知问题，提高学生解决几何综合题的能力；（2）通过从复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系，感悟解几何背景综合题的一般思考方法和解题策略，发展逻辑推理和直观想象的数学核心素养。情感态度与价值观：（1）在探究的学习过程中，养成细心观察、勤于思考、乐于探索的学习品质（2）通过几何画板的动态演示功能，形象直观的感受平面几何中的变化与恒等的规律特点。教学重点：综合基本图形的性质及图形中元素的内在联系，找到解题途径.教学难点：从复杂的图形中发现图形的本质特征，形成解题策略.
板书设计
以正方形为背景的几何探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
推荐问题探 究 例:在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点．（1）依题意补全图1；（2）若，求的度数；（3）如图2，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 对推荐的题目分析,回答,讨论 选题过程中的筛选、甄别工作，有效的调动了学生对几何综合题背景以及解题策略的分析，更是为学生创造性思维、发散性思维的培养提供了时间和空间，提高了学生学习数学的自信心.
教师指导展示部分学生的画图结进行纠正 【学生活动】：动手画图并说明作法 培养画图能力说明理由的同时提升学生步步有据的意识
【问题1】第一问，补全图形后分析发现什么结论，并说明原因. 【预设学生活动】1.线段相等2.角相等3.全等图形4.补全对称图形 通过分析对称图形及正方形的性质，更准确的把握图形的本质特征，为后面问题的解决做好铺垫.
【问题2】求出的度数后追问，还能否给出其它角的度数，进而求出未知角的度数。 2.展示计算推理结果【预设学生回答】1.给一个具体的角度，可以求出其他的角度.2.设一个角的度数为x,进而表示出其他的角度. 开放性问题的设置，引发学生更加深入的思考，发现角度之间隐含的关系，变中存在着不变的关系，为后续用不同方法解决直角问题打下基础.
根据学生的问题引导学生进行分析转化【问题3】如何求三条线段之间的数量关系？如何转化？本题求直角可以有什么方法？引导学生多种方法证直角 【学生活动】展示学生的画图，请部分同学展示自己的困惑和想法，师生共同解决【预设学生问题】1.不知道如何求三条线段之间的数量关系.2.知道求三条线段之间的数量关系的一般方法，但不知道如何转化线段.3.能够正确进行转化，但是不会证明直角 通过分析基本图形的性质及图形中元素的内在联系，找到解决问题的途径。通过将未知转化为已知问题的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.形成探究三条线段数量关系的解决策略。
【问题4】本题的入选理由，推荐词是什么？引导学生从知识点，数学思想方法，解题策略等方面进行归纳. 【预设学生回答】1.正方形、对称、全等三角形、直角三角形2.转化…… 明确题目的核心知识，感悟解几何背景综合题的一般思考方法和解题策略.
【问题5】还有什么想法？或者还想知道什么？若把条件改变或者去掉，结论还成立吗？ 若成立，请画图进行证明 【预设学生回答】1．解题策略2.把题目中的直线AP绕着A 点旋转，结论还成立吗？3.若把正方形变成等腰三角形或者是等边三角形会有哪些结论？4. 【学生活动】尝试进行画图并证明 开放性问题的设计，引发学生更加深入的思考，培养学生发散性思维.培养学生探究问题的意识.同时让学生对题目本身最本质的条件有了更及时深入的认识，提供了解决这一
课堂小 结 1. 引导学生从多角度总结本节课的所学2. 你还想到什么？ 【预设学生回答】知识解题策略数学思想方法…… 在归纳反思中巩固所学知识，梳理解决此类问题的方法策略
课后作业 1.完成课上的题后拓展.2.在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线于点E．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明. 课后独立完成． 通过参考例题的变式让学生能够认识到同一背景下的问题，可以如何进行变换。争取让学生自己能够举一反三.
学习效果评价设计
评价内容1是对知识与技能的评价，评价内容2、3和6是过程与方法的评价，评价内容4、5、7、8、9是对情感态度价值观的评价。从学生的角度来看，若评价内容1为C则还需深入学习；若评价内容2、3和6为2C及其以上则说明对数学的思想方法和解题能力有待提高；对于评价内容4、5、7、8、9，学生对于等级较低的选项内容认真分析，找到原因。 从教师的角度来看，若全班的评价内容1的C级等级率超过10%，则本节课没有达成知识与技能目标，需反思和调整教学；若全班评价内容2、3和6的C级等级率超过20%，则教师须关注学生对数学的思想方法的理解以及解题能力和方法；若全班的评价内容4、5、7、8、9的A级等级率超过80%，则说明学生的课堂参与度较高.
学习效果评价量规
评价方式 评价内容 评价等级
A B C
自评 1、课堂练习、达标测试正确性
2、独立思考获得解决问题的思路情况
3、反思的意识
4、合作交流的意识
5、学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难
组评 6、解决问题的方法
7、实事求是的态度
8、参与小组讨论的情况
9、帮助同学的情况
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1. 重视例题的选择，充分调动学生的主动性和积极性本节课的例题的选择是学生自己挑选的具有代表性的题目，旨在发挥学生的主体作用的同时，让学生对枯燥的几何综合题提高兴趣，尤其是在选题的过程中的筛选、甄别工作，有效的调动了学生对几何综合题背景以及解题策略的分析，更是为学生创造性思维、发散性思维的培养提供了时间和空间。另外，自己推荐的题目被选上，也让学生收获了成功的喜悦，对数学的学习充满了信心。2、重视数学知识本质的教学，渗透数学思想方法。深入的分析第一问中图形的特征和基本图形，以及在旋转过程中图形中保持不变的量，这些本质特征为解决第三问做好铺垫。再如，探究三条线段的数量关系的过程中，如何把三条线段转移到一个三角形中，渗透了转化的数学思想。3、重视开放性题目的设计，加深学生对知识的理解，激发思维的创造性。在题目解决完之后，提出若把条件改变或者去掉，结论还成立吗？如果把正方形改成等边三角形，还会有什么结论？题后设计的变式问题，有利于培养学生分析和解决问题的能力以及创新能力，激发学生的创造性思维。
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