(共20张PPT)
空间直线、平面的平行(3)
数学
活动方案
活动一
巩固直线与平面平行的判定定理及直线与平面的位置关系
活动二
探究直线与平面平行的性质定理
解析
解析
解析
线面平行的性质定理解读:
(1)线面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”;
(2)线面平行的性质定理包含三个条件“一内一交一平行”,应用该定理的关键是过直线作平面得到与平行平面的交线.
解析
答案
活动三
直线与平面平行的性质定理的应用
例1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是侧棱PA,PC上的点,且EF∥平面ABCD.求证:EF∥AC.
探究点一 证明直线与直线平行
证明:因为EF∥平面ABCD,EF 平面PAC,平面PAC∩平面ABCD=AC,所以由线面平行的性质定理可得EF∥AC.
小结
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤
例2 如图所示,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1分别交于点F,G.求证:FG∥平面ADD1A1.
探究点二 证明直线与平面平行
证明:∵EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,∴EH∥B1C1,又B1C1 平面BCC1B1,EH 平面BCC1B1,∴EH∥平面BCC1B1.∵EH 平面EHGF,平面EHGF∩平面BCC1B1=FG,∴EH∥FG,∴FG∥A1D1,又FG 平面ADD1A1,A1D1 平面ADD1A1,∴FG∥平面ADD1A1.
变式 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,过MN作一个平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则 ( )
A.MF∥NE
B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形
D.A1B1∥NE
[解析] ∵在 AA1B1B中,M,N分别为AA1,BB1的中点,∴MN∥AB,MN=AB.又MN 平面ABC,AB 平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN 平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.
B
解析
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,CD=2AB,E为棱PD的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解:(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=DC.
因为AB∥DC,CD=2AB,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE 平面PBC,BF 平面PBC,所以AE∥平面PBC.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,CD=2AB,E为棱PD的中点.
(2)PB与平面AEC是否平行 并说明理由.
解: PB与平面AEC不平行.理由如下:
假设PB∥平面AEC,连接BD,设BD∩AC=O,连接OE.因为平面EAC∩平面PDB=OE,PB 平面PDB,PB∥平面AEC,所以PB∥OE,所以在△PDB中,有=,
又E为PD的中点,所以==1,即OB=OD. 因为AB∥DC,所以==,这与OB=OD矛盾, 所以假设不成立,故PB与平面AEC不平行.
总结
1、线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得到线线平行;
2、利用线面平行的性质定理解题的一般步骤:
①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面;
②确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面;
③确定交线;
④由性质定理得出线线平行的结论.
我们无法预测未来,
但可以把握现在!