北师大版初中数学七年级上册第五单元《一元一次方程》单元测试卷（困难）（含答案）

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北师大版初中数学七年级上册第五单元《一元一次方程》单元测试卷
考试范围：第五单元； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为
A. B. C. D.
已知：与互为相反数，则关于的方程的解为
A. B. C. D.
若，表示非零常数，整式的值随取值的不同而发生变化，如下表，则关于的一元一次方程的解为
A. B. C. D.
某车间有名工人，每人每天可以生产个螺钉或者个螺母，个螺钉需配个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，令安排生产螺钉的工人为人，则可列方程为
A. B.
C. D.
某项工作，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲先做一天，然后甲、乙合作完成此项工作。设甲一共做了天，则所列方程为
A. B.
C. D.
已知关于的方程的解满足，则的值是
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
适合的整数的值有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
在九章算术方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设则有，解得，故类似地的结果为．
A. B. C. D.
正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置
A. 上
B. 上
C. 上
D. 上
某同学晚上点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是，他做完作业后还是点多钟，且时针和分针的夹角还是，此同学做作业大约用了
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
下列根据等式的性质变形不正确的是
A. 由，得到 B. 由，得到
C. 由，得到 D. 由，得到
如图所示，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走．甲从点以的速度、乙从点以的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的
A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 边上
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
夏天到了，体育中心为吸引顾客，在月份的时候开设了一个夜市，分为运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区，三者摊位数量之比为：：，城管对每个摊位收取元月的管理费，到了月份，由于顾客人数增加，该体育中心扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于运动体验区，结果运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的，同时城管将运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区每个摊位每月的管理费按元、元、元收取，结果城管月份收到的管理费比月份增加了，则休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市月的总摊位数量之比是______．
我们称使成立的一对数、为“相伴数对”，记为，如当时，等式成立，记为，若是“相伴数对”，则的值为______．
某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”你认为售货员应标在标签上的价格为_____元．
为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮；乙种粗粮每袋装有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为元，利润率为，乙种粗粮的利润率为若这两种袋装粗粮的销售利润率达到，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是______商品的利润率
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
抗震救灾重建家园，为了修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元．
请问甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？
若要求最迟个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度地节省资金时间按整月计算．
如图，线段厘米，点以每秒钟厘米的速度从点匀速运动到点，当点与点重合时运动停止．点为线段中点，点为线段中点．设运动时间为秒．
当点与点重合时，______秒；
在运动过程中，的长度是否与的取值有关？若有关，请用含有的代数式表示线段的长；若无关，请利用代数式的相关知识说明理由．
在点开始运动的同时，点以每秒钟厘米的速度从点出发，在点和点之间做往返运动，当点停止运动时，点也停止运动．
当点与点重合时，求线段的长．
在运动时间从第秒开始到停止运动的过程中，请直接写出当时的值．
我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则该方程是差解方程．
请根据上述规定解答下列问题：
判断是否是差解方程；
若关于的一元一次方程是差解方程，求的值．
实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为，容器内的水深为现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块铁块一面平放在容器底面，过顶点的三条棱的长分别，，．
容器内水的体积为 ．
当铁块的顶部高出水面时，的值为 ．
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．
一家商场将某种商品按成本价提高后标价出售，元旦期间，为答谢新老顾客对商场的光顾，打八折销售，每件商品仍可获利元．请问这件商品的成本价是多少元？
黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了亩品种黑马铃薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克
求老李收获，两个品种黑马铃薯各多少千克？列一元一次方程解答
某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马铃薯．收购方式如下：、两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，每箱的收购价元，每箱的收购价元，老李给出如下优惠：
收购或的数量单位：箱 不超过箱 超过箱
优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折
第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？
24.小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的没有乘以，由此求得的解为，试求的值，并正确地求出方程的解．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：一元一次方程则系数为，且系数
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
原式．
故选：．
根据一元一次方程的定义，则系数为，且系数，得出；由，得，，
．
本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是根据一元一次方程的定义求的值．去绝对值时注意、与的关系．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了非负数的性质和一元一次方程的解法，是中考热点，要熟练掌握．
由 知 ，得 ； ，得 ，代入再找到规律，求出方程的解即可．
【解答】
解：与互为相反数，
，
，，
解得，，
将，代入方程，
得，
，
，
，
，
．
故选．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元一次方程的解，解题的关键是正确理解表格的意义，本题属于基础题型．
将原方程化为 ，然后根据表格即可求出答案．
【解答】
解： ，
，
由表格可知： ，
故选 C ．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 ，然后用含 的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程 题目已经设出安排 名工人生产螺钉，则 人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的 倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【解答】
解：设安排 名工人生产螺钉，则 人生产螺母，
由题意得 ，
故选 D ．

5.【答案】
【解析】
【分析】
此题的关键是理解工作时间，工作效率和工作总量的关系及找出题中存在的等量关系．首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量 乙完成的工作量 总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“ “，根据效率 时间 工作量的等式，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出方程．
【解答】
解：设甲一共做了 天，则乙一共做了 天．
可设工程总量为 ，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ．
那么根据题意可得出方程 ，
故选 C ．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元一次方程的解的相关知识．
先解出方程 的解，然后将其代入方程 ，将未知数转化成已知数，继而求出 ．
【解答】
解： ，
或 ，
把 或 分别代入 中，
或 ，
故选 A ．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查含绝对值的一元一次方程，绝对值的几何意义，数轴，关键是利用数轴进行解答．
此方程可理解为 到 和 的距离的和，由此可得出 的值，继而可得出答案．
【解答】
解：如图可知，在数轴上 的数都满足 ，其中的整数有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共九个值．
故选 D ．
8.【答案】
【解析】解：设，
则，
，
解得，
故选B．
设，知，据此可得，再进一步求解可得．
本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数式规律问题，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的变化规律．根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，进而求得第 次相遇的地点，本题得以解决．
【解答】
解：设乙走 秒第一次追上甲．
根据题意，得 ，
解得 ．
乙走 秒第一次追上甲，则乙在第 次追上甲时的位置是 上；
设乙再走 秒第二次追上甲．
根据题意，得 ，解得 ．
乙再走 秒第二次追上甲，则乙在第 次追上甲时的位置是 上；
同理，乙再走 秒第三次追上甲，则乙在第 次追上甲时的位置是 上；
乙再走 秒第四次追上甲，则乙在第 次追上甲时的位置是 上；
乙在第 次追上甲时的位置又回到 上；
，
每四次一个循环，
，
乙在第 次追上甲时的位置在 上，
故选 B ．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了钟表时针与分针的夹角，一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是关键，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动 时针转动
，设开始做作业时的时间是 点 分， ，设做完作业后的时间是 点 分， ，解出 ， ，即可得到答案．
【解答】
解：设开始做作业时的时间是 点 分，
，
解得 ；
再设做完作业后的时间是 点 分，
，
解得 ，
此同学做作业大约用了 分钟 ，
故选 C ．

11.【答案】
【解析】解：、由，得到，正确；
B、由，得到，正确；
C、当时，由，，错误；
D、由，得到，正确；
故选：．
根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立，可得答案．
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程追击问题的数量关系的运用，行程问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据甲走的路程乙走的路程建立方程是关键．设当乙第一次追到甲时乙用了分钟，由甲走的路程乙走的路程建立方程求出其解即可．
【解答】
解：设当乙第一次追到甲时乙用了分钟，由题意，得
，
解得：．
乙行驶的路程为：米．
乙行驶的边数为：边．
余．
乙走了圈多三边追到甲，
乙第一次追到甲时，他在正方形广场的边上．
故选B．

13.【答案】：
【解析】解：设运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为个，，个个，
则月份的管理费为元．
设月份新增的总摊位数为个，运动体验区的新增摊位数为个，
则运动体验区的摊位数为个，
则月份总摊位有个，
，
解得，，
设物资补给区新增摊位数为，则休闲娱乐区的新增的摊位数为个，
则月份的管理费为，
解得，，
休闲娱乐区的新增的摊位数为，
该夜市月的总摊位数为，
休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市月的总摊位数量之比是：，
故答案为：：．
先设运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为个，，个个，月份新增的总摊位数为个，运动体验区的新增摊位数为个，物资补给区新增摊位数为，则休闲娱乐区的新增的摊位数为个，表示出运动体验区的摊位数为和月份总摊位，根据运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的，得到，再根据月份收到的管理费比月份增加了，列出方程，求得，然后再求休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市月的总摊位数量之比即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】
【解答】
解： 是“相伴数对”，
，
解得： ．
故答案为： ．
【分析】
根据“相伴数对”的定义，即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了解一元一次方程，依照“相伴数对”的定义找出关于 的一元一次方程是解题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程，再求解．
依据题意设售货员应标在标签上的价格为 元，建立等量关系，商品标价 进价 ，解答即可．
【解答】
解：设售货员应标在标签上的价格为 元，
依据题意
可求得： ，
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．
先求出 千克 粗粮成本价 千克 粗粮成本价 元，得出乙种粗粮每袋售价为 元．再设该电商销售甲种袋装粗粮 袋，乙种袋装粗粮 袋，根据甲种粗粮每袋售价为 元，利润率为 ，乙种粗粮的利润率为 这两种袋装粗粮的销售利润率达到 ，列出方程 ，求出 ．
【解答】
解： 甲种粗粮每袋装有 千克 粗粮， 千克 粗粮， 千克 粗粮，
而 粗粮每千克成本价为 元，甲种粗粮每袋售价为 元，
千克 粗粮成本价 千克 粗粮成本价 元 ，
乙种粗粮每袋装有 千克 粗粮， 千克 粗粮， 千克 粗粮，
乙种粗粮每袋售价为 元 ．
甲种粗粮每袋成本价为 元 ，乙种粗粮每袋成本价为 元 ．
设该电商销售甲种袋装粗粮 袋，乙种袋装粗粮 袋，
由题意，得 ，
，
．
故答案为 ．
17.【答案】解：设甲、乙两工程队合作需个月完成，
由题意得：，
解得，
万元，
甲、乙两工程队合作修建需要个月完成，共耗资万元；
设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成，
由题意得：，
解得，
甲、乙合作个月，剩下的由乙来做个月就可以既保证按时完成任务，又最大限度地节省资金．
【解析】本题考查一元一次方程的应用及实际问题的设计方案的知识点，寻找等量关系列出一元一次方程是解题的关键．
设甲、乙两工程队合作需个月完成，根据题意列出一元一次方程，解这个一元一次方程，即可求解；
设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成，根据题意列出一元一次方程，解这个一元一次方程，即可求解．
18.【答案】
【解析】解：点与点重合时，秒，
故答案为：；
的长度与的取值无关，理由如下：
点为线段中点，点为线段中点，
厘米；
设运动秒时，点与点重合，此时厘米，厘米，
根据题意得：，
解得，
厘米，厘米，
厘米；
设当与重合后，再过秒，若还未返回时，
或，
解得或，
或，
若返回后，设再过秒，，
或，
解得或，
或，
答：的值是或或．
用除以速度即可求得时间；
厘米；
设运动秒时，点与点重合，此时厘米，厘米，可得：，解得，即可得厘米；
设当与重合后，再过秒，若还未返回时，或，若返回后，设再过秒，，
或，可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，理解动点的运动过程，找出等量列方程．
19.【答案】解：，
，
，
是差解方程；
，
，
关于的一元一次方程是差解方程，
，
解得：．
【解析】解方程，并计算对应的值与方程的解恰好相等，所以是差解方程；
解方程，根据差解方程的定义列式，解出即可．
本题考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，解好本题是做好两件事：熟练掌握一元一次方程的解法；明确差解方程的定义，即方程的解．
20.【答案】 ；或
【解析】解：根据已知容器内水的体积为，
故答案为：；
当长方体实心铁块的棱长为和的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为，此时水位上升了，铁块浸在水中的体积为，
，
解得，
当长方体实心铁块的棱长为和的那一面平放在长方体的容器底面时，
同理可得：，
解得，
故答案为：或．
利用长方体体积公式即可得到答案；
分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
21.【答案】解：方程是和解方程，
是方程的解
，
解得：．
关于的一元一次方程是“和解方程，并且它的解是，，且，解得，．
【解析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于、的二元二次方程组．
根据和解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据和解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程组，解之即可得出、的值．
22.【答案】解：设这件商品的成本价是元，由题意得：
，
解得：．
答：这件商品的成本价是元．
【解析】首先设这件商品的成本价是元，根据题意可得等量关系：成本打折成本利润，根据等量关系代入相应数据可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
23.【答案】解：设品种的平均亩产量为千克，则品种的平均亩产量为千克，老李收获品种黑马铃薯千克，收获品种黑马铃薯千克，根据题意得：
，
解得，
收获品种黑马铃薯千克，
收获品种黑马铃薯千克，
答：老李收获品种黑马铃薯千克，收获品种黑马铃薯千克；
设蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱，则蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱，
收购的品种箱数比品种箱数多，
，
解得，
品种黑马铃薯千克可装箱，品种黑马铃薯千克可装箱，
蔬菜商人第二次收购品种黑马铃薯箱，收购品种黑马铃薯箱，
而时，，，
根据题意得：，
解得，
答：蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱．
【解析】设品种的平均亩产量为千克，根据共收获两个品种黑马铃薯千克得：，解得，即可得到老李收获品种黑马铃薯千克，收获品种黑马铃薯千克；
设蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱，则蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱，根据收购的品种箱数比品种箱数多，可得，而时，，，根据第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，得：，即可解得答案．
本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
24.【答案】解：因为去分母时，只有方程左边的没有乘以，
所以，
把代入上式，解得．
原方程可化为：，
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为，得
故，．
【解析】先根据错误的做法：“方程左边的没有乘以”而得到，代入错误方程，求出的值，再把的值代入原方程，求出正确的解．
本题易在去分母、去括号和移项中出现错误．由于看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
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