1.2.1-2角的概念推广 同步课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
2.1　角的概念推广
2．2　象限角及其表示
[教材要点]
知识点一　角的概念推广
1．角的概念：平面内一条________线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角．
2．角的分类：按________方向旋转形成的角叫正角，按______方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角．
射
逆时针
顺时针
知识点二　象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与________重合，角的始边与x轴的________重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限．
知识点三　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．
原点
非负半轴
不属于
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
整数个周角
[教材答疑]
[教材P7思考交流]
当角α为锐角，则角α＋180°的终边与α的终边关于原点对称，见图1；角α－180°的终边与α的终边关于原点对称，见图2；角180°－α的终边与α的终边关于y轴对称，见图3.
当角α是任意角，它们的关系同上．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)第一象限的角一定是锐角．(　　)
(2)终边相同的角一定相等．(　　)
(3)小于90°的角一定是锐角．(　　)
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)
×
×
×
√
2．手表时针走1小时转过的角度是(　　)
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
3．与53°角终边相同的角是(　　)
A．127° B．233°
C．－307° D．－127°
4．2 019°是第________象限角．
解析：－×360°＝－30°.
解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.
解析：∵2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.
∴2 019°是第三象限角．
D
C
三
题型探究·课堂解透
题型一　任意角的概念及应用——自主完成
1．[多选题]下列说法不正确的是(　　 )
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于90°
D．终边相同的角相等
解析：－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角还可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°角与405°角的终边相同，但不相等，所以D错误．故选ABD.
ABD
2．将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　)
A．10° B．15°
C．30° D．－30°
解析：分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.
B
3．在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________．
解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．
④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．
①②④
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
题型二　终边相同的角——师生共研
例1　写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
解析：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角．
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练1　写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．
(1)60°；
(2)－210°；
(3)364°13′.
解析：(1)∵S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.
(2)∵S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.
(3)∵S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.
题型三　象限角与区域角的表示——微点探究
微点1　象限角的判定
例2　[多选题]若α是第二象限角，则所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z．当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z).∴的终边位于第一或第三象限．故选AC.
AC
微点2　区域角的表示
例3　写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．
解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
方法归纳
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．
跟踪训练2　(1)[多选题]已知α是第一象限角，那么是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
∴k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z．
当k＝2n，n∈Z时，n·360°<<45°＋n·360°，n∈Z，
∴是第一象限角．
当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°<<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
∴在第三象限．故选AC
AC
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
解析：若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z．
若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z．
所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，
30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z．
故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
易错辨析　对终边相同的角理解不透彻致误
例4　终边落在直线y＝x上的角的集合为______________________．
{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}
解析：与45°角终边相同的角的集合S1＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}；
与225°角终边相同的角的集合S2＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}．
所以终边落在直线y＝x上的角的集合为S＝S1＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}＝45°＋(2k＋1)180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．
易错警示
易错原因 纠错心得
对终边相同的角理解不透彻，导致在由S＝S1运算中出错． 错答为：{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z} 准确理解终边相同角
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．