选择性必修第一册1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-13 15:12:30 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（ ）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
5．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A． B．
C． D．
9．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
10．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．
14．Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是_____.
15．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______．
16．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为30°，则的长为_________．
17．在空间直角坐标系中，已知点，，和点，，，其中，，若直线与直线垂直，则x的值为________.
三、解答题
18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
19．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
21．如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE．
（1）计算DE的长；
（2）求点O到平面ABC的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由题意可知，平面的法向量为，直线的方向向量为，再根据线面角的正弦值，即可求出结果．
【详解】
因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为.所以
故选：C．
2．C
建立空间直角坐标系，
【详解】
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
3．B
先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.
【详解】
由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系，
依题意，设，，设，，故，
又，异面直线与成的角，故，
即，即，，故，又，故.
故选：B.
4．C
建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
5．D
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
6．A
当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．
【详解】
解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,
所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
7．B
建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则,. 设
则 易知平面和平面的一个法向量分别为
.设平面的法向量为，
则 即
取，可得
所以 为平面的一个法向量.
由题意,平面与平面，平面所成的角相等，
所以.
或
在平面上，直线过点和的中点，
在平面上，直线只过点，即点，
取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，
由等面积法可得的最小值为.
故选：B.
对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
8．D
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．A
判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
对于A，∵，
∴，∴l与m垂直，A正确；
对于B，∵与不共线，
∴直线l不垂直平面α，B错误；
对于C，∵与不共线，
∴平面α与平面β不平行，C错误；
对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，
由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D错误.
故选：A.
10．A
取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
11．A
建立空间直角坐标系，为锐角等价于，即，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系：则，，，，
，，
，，
所以，
，
由为锐角得，即，
所以，即，解得：，
当时，点位于点处，此时显然是锐角，符合题意，
所以，
故选：A
关键点点睛：本题的关键点是为锐角等价于，即，还需利用，求出、的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
12．D
两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.
【详解】
平面α的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有D符合要求，
故选：D.
本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题.
13．
由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.
【详解】
如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接
则,又，且,所以平面
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形中，为中心，
由条件有，可得
在直角三角形中，
所以
故答案为：
本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
14．3
先建立空间直角坐标系，写出坐标和的坐标，再利用空间中点到直线的距离公式计算即可.
【详解】
解：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以=(-4，3，0)，.
所以点到的距离.
故答案为：3.
本题考查空间中点到直线的距离，关键是熟悉向量法表示距离，属于基础题.
15．-2
由已知可得，即，计算即可得出结果.
【详解】
因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，
所以，解得.
故答案为：-2.
16．
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出两平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值的绝对值为可求得，即的长．
【详解】
如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，∴．设，则点D的坐标为．
设平面的法向量为，则令，得．又平面的一个法向量为，记为，则由，解得（负值舍去），故．
故答案为：．
本题考查用空间向量法求二面角．解题时根据题中垂直关系建立空间直角坐标系，求出二面角两个面的法向量，由法向量的数量积可得二面角．
17．或
利用向量垂直的坐标运算可得，化简整理为，，，解之即可．
【详解】
解：由题意得，得，
利用，化简后得，
于是或，
因为，，
所以或．
故答案为：或．
18．（1）证明见解析；（2）
（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】
（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】
第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）由面面垂直性质可得平面，得到；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，平面，，平面.
（2）取中点，连结，
为等腰直角三角形，平面平面，平面，平面，知两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为，
，
由图形可知：二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为.
方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；
（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；
（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直；
（2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面.
（3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面.
(1)
证明： 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.
(1)向量，故.
所以.
(2)
取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.
(3)
底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.
21．（1）；（2）．
（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；
（2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出．
【详解】
（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，
，而且，所以，即，所以DE的长为．
（2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心，
的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（ ）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
5．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A． B．
C． D．
9．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
C．平面α、β的法向量分别为，，则α∥β
D．平面α经过三个点A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，则u+t=1
10．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．
14．Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是_____.
15．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______．
16．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为30°，则的长为_________．
17．在空间直角坐标系中，已知点，，和点，，，其中，，若直线与直线垂直，则x的值为________.
三、解答题
18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
19．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
21．如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE．
（1）计算DE的长；
（2）求点O到平面ABC的距离．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由题意可知，平面的法向量为，直线的方向向量为，再根据线面角的正弦值，即可求出结果．
【详解】
因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为.所以
故选：C．
2．C
建立空间直角坐标系，
【详解】
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
3．B
先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.
【详解】
由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系，
依题意，设，，设，，故，
又，异面直线与成的角，故，
即，即，，故，又，故.
故选：B.
4．C
建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
5．D
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
6．A
当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．
【详解】
解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,
所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
7．B
建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则,. 设
则 易知平面和平面的一个法向量分别为
.设平面的法向量为，
则 即
取，可得
所以 为平面的一个法向量.
由题意,平面与平面，平面所成的角相等，
所以.
或
在平面上，直线过点和的中点，
在平面上，直线只过点，即点，
取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，
由等面积法可得的最小值为.
故选：B.
对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
8．D
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．A
判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】
对于A，∵，
∴，∴l与m垂直，A正确；
对于B，∵与不共线，
∴直线l不垂直平面α，B错误；
对于C，∵与不共线，
∴平面α与平面β不平行，C错误；
对于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，
由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D错误.
故选：A.
10．A
取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
11．A
建立空间直角坐标系，为锐角等价于，即，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系：则，，，，
，，
，，
所以，
，
由为锐角得，即，
所以，即，解得：，
当时，点位于点处，此时显然是锐角，符合题意，
所以，
故选：A
关键点点睛：本题的关键点是为锐角等价于，即，还需利用，求出、的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
12．D
两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.
【详解】
平面α的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有D符合要求，
故选：D.
本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题.
13．
由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.
【详解】
如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接
则,又，且,所以平面
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形中，为中心，
由条件有，可得
在直角三角形中，
所以
故答案为：
本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
14．3
先建立空间直角坐标系，写出坐标和的坐标，再利用空间中点到直线的距离公式计算即可.
【详解】
解：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以=(-4，3，0)，.
所以点到的距离.
故答案为：3.
本题考查空间中点到直线的距离，关键是熟悉向量法表示距离，属于基础题.
15．-2
由已知可得，即，计算即可得出结果.
【详解】
因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，
所以，解得.
故答案为：-2.
16．
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出两平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值的绝对值为可求得，即的长．
【详解】
如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，∴．设，则点D的坐标为．
设平面的法向量为，则令，得．又平面的一个法向量为，记为，则由，解得（负值舍去），故．
故答案为：．
本题考查用空间向量法求二面角．解题时根据题中垂直关系建立空间直角坐标系，求出二面角两个面的法向量，由法向量的数量积可得二面角．
17．或
利用向量垂直的坐标运算可得，化简整理为，，，解之即可．
【详解】
解：由题意得，得，
利用，化简后得，
于是或，
因为，，
所以或．
故答案为：或．
18．（1）证明见解析；（2）
（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；
【详解】
（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
【整体点评】
第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.
第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）由面面垂直性质可得平面，得到；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，平面，，平面.
（2）取中点，连结，
为等腰直角三角形，平面平面，平面，平面，知两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为，
，
由图形可知：二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为.
方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；
（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；
（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直；
（2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面.
（3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面.
(1)
证明： 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.
(1)向量，故.
所以.
(2)
取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.
(3)
底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.
21．（1）；（2）．
（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；
（2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出．
【详解】
（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，
，而且，所以，即，所以DE的长为．
（2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心，
的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为．
答案第1页，共2页
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