选择性必修第一册2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 515.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-13 15:14:11 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
3．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线过点和点，则该直线的方程为
A． B．
C． D．
5．若，则直线可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
7．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
9．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（ ）．
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过点的直线与直线平行；
③若，则直线经过的中点；
④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题
13．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
14．已知直线L过点且倾斜角为，则l的点斜式方程为_______．
15．直线与直线垂直，则为___________.
16．已知点在直线上运动，则的最小值为________.
17．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
三、解答题
18．求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)
（1）经过点，且斜率等于直线的斜率的倍；
（2）经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
19．已知直线l的方程为(m－1)x＋(m＋3)y＋6－10m＝0，m∈R.
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x－4y＋2＝0平行，求m的值.
20．分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式.
（1）经过点和；
（2）在轴和轴上的截距分别为和；
（3）经过点且与直线垂直.
21．已知三角形的三个顶点A( 5，0)，B(3， 3)，C(0，2).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
作出的图象，由图象可得结论.
【详解】
在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：
由图可知：，.
故选：B.
2．A
利用点的坐标求出，进而可得直线l的一个方向向量.
【详解】
因为，所以；
因为，所以是直线l的一个方向向量.
故选：A.
3．B
由时，可得到定点坐标.
【详解】
当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
4．A
（法一）利用直线的两点式方程直接求解；
（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．
【详解】
解：（法一）因为直线过点和点，
所以直线的方程为，整理得；
（法二）因为直线过点和点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得；
故选：A．
本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．
5．C
将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.
【详解】
由题意知，直线方程可化为,
，
故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．
故选:C．
本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.
6．D
将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】
可化为，∴直线过定点，
故选：D.
7．D
先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.
故选：D
本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.
8．D
由恒成立得可得定点.
【详解】
由得，
因为恒成立，
所以 解得 所以恒过定点
故选：D
9．D
点斜式写出直线的方程，再表示出直线在轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解出不等式即可.
【详解】
设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得或.
故选：D.
10．D
由可得①正确，分和两种情况讨论可得直线与直线平行，可得②正确，当时，可得到，从而得到③正确，当时可得和，然后可得④正确.
【详解】
因为中，，所以点不在直线上，故①正确
当时，根据得到，化简得，
即直线的斜率为，又直线的斜率为，由①可知点不在直线上，
得到直线与直线平行
当时，可得直线与直线的斜率都不存在，也满足平行，故②正确
当时，得到，化简得
而线段的中点坐标为，所以直线经过的中点，故③正确
当时，得到，所以，
即，所以点在直线的同侧
且，可得点与点到直线的距离不等，
所以延长线与直线相交，故④正确
综上：命题正确的有4个
故选：D
本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.
11．C
令，可得；令，可得，可得，，解出即可．
【详解】
解：令，可得；令，可得，
，，
解得，且．
故选：．
本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
12．C
直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】
直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
13．
根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
本题考查斜率与倾斜角关系、由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
根据直线的点斜式方程可得答案.
【详解】
由题意知直线L的斜率，所以l的点斜式方程为．
故答案为：.
本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.
15．或
根据两直线垂直的性质得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为直线与直线垂直，
所以，解得或
故答案为：或
16．
把转化为两点距离的平方求解，可看成直线上的点与原点连线长度的平方的最小值，即为原点到该直线的距离平方.
【详解】
是直线上的任意一点，的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，
的最小值为原点到直线的距离的平方，
所求最小值为.
故答案为：.
【点晴】
本题主要考查点到直线的距离公式、根据几何性质求最值，着重考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.
17．①④
分别由直线的斜率公式、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对得出答案．
【详解】
对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
18．（1）；（2）或．
（1）由题意可得的斜率为，即可得所求直线的斜率，代入点斜式方程，即可得直线的方程，化简整理，即可得答案.
（2）当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，根据直线方程的截距式，代入点坐标，即可得直线方程；直线过原点时，设直线方程为，代入点坐标，即可得直线方程，综合即可得答案.
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，
化简得．
（2）由题意，当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，则所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
19．（1）证明见解析；；（2）.
（1）将直线化为，即可列式求出定点；
（2）由平行得出求解即可.
【详解】
解：（1）由，
化简，
令，解得，故直线恒过定点；
（2）由题得与直线平行，
，解得.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）用两点式写出直线方程并化简为一般式；
（2）用截距式写出直线方程交化简为一般式；
（3）由垂直求出直线斜率，设出直线方程的斜截式，代入点的坐标可得结论．然后方程化为一般式．
【详解】
解：（1）所求的直线方程为，
整理得.
（2）所求的直线方程为，
整理得.
（3）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
设所求直线方程为，将代入可得，
所以所求的直线方程为，即.
思路点睛：本题考查求直线方程，直线方程有形式多种多样：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，可以根据不同的条件写出直线方程，然后转化为一般式．
21．（1）；（2）.
（1）本小题先根据两点求直线的斜率，再运用点斜式求直线方程即可；
（2）本小题先求点A到直线BC的距离就是高，再求B、C两点的距离就是底边，最后求三角形面积即可.
【详解】
解：(1)∵ B(3， 3)，C(0，2)，
∴ ，
∴ BC边所在直线的方程：，即，
（2）A( 5，0)，∴点A到直线BC的距离为：
∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴
∴
本题考查过两点求斜率，点斜式直线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，是基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
3．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线过点和点，则该直线的方程为
A． B．
C． D．
5．若，则直线可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
7．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
9．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．设为不同的两点，直线，下列命题正确的有（ ）．
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过点的直线与直线平行；
③若，则直线经过的中点；
④若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题
13．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
14．已知直线L过点且倾斜角为，则l的点斜式方程为_______．
15．直线与直线垂直，则为___________.
16．已知点在直线上运动，则的最小值为________.
17．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
三、解答题
18．求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)
（1）经过点，且斜率等于直线的斜率的倍；
（2）经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
19．已知直线l的方程为(m－1)x＋(m＋3)y＋6－10m＝0，m∈R.
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l与直线3x－4y＋2＝0平行，求m的值.
20．分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式.
（1）经过点和；
（2）在轴和轴上的截距分别为和；
（3）经过点且与直线垂直.
21．已知三角形的三个顶点A( 5，0)，B(3， 3)，C(0，2).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
作出的图象，由图象可得结论.
【详解】
在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：
由图可知：，.
故选：B.
2．A
利用点的坐标求出，进而可得直线l的一个方向向量.
【详解】
因为，所以；
因为，所以是直线l的一个方向向量.
故选：A.
3．B
由时，可得到定点坐标.
【详解】
当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
4．A
（法一）利用直线的两点式方程直接求解；
（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．
【详解】
解：（法一）因为直线过点和点，
所以直线的方程为，整理得；
（法二）因为直线过点和点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得；
故选：A．
本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．
5．C
将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.
【详解】
由题意知，直线方程可化为,
，
故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．
故选:C．
本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.
6．D
将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】
可化为，∴直线过定点，
故选：D.
7．D
先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.
故选：D
本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.
8．D
由恒成立得可得定点.
【详解】
由得，
因为恒成立，
所以 解得 所以恒过定点
故选：D
9．D
点斜式写出直线的方程，再表示出直线在轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解出不等式即可.
【详解】
设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得或.
故选：D.
10．D
由可得①正确，分和两种情况讨论可得直线与直线平行，可得②正确，当时，可得到，从而得到③正确，当时可得和，然后可得④正确.
【详解】
因为中，，所以点不在直线上，故①正确
当时，根据得到，化简得，
即直线的斜率为，又直线的斜率为，由①可知点不在直线上，
得到直线与直线平行
当时，可得直线与直线的斜率都不存在，也满足平行，故②正确
当时，得到，化简得
而线段的中点坐标为，所以直线经过的中点，故③正确
当时，得到，所以，
即，所以点在直线的同侧
且，可得点与点到直线的距离不等，
所以延长线与直线相交，故④正确
综上：命题正确的有4个
故选：D
本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.
11．C
令，可得；令，可得，可得，，解出即可．
【详解】
解：令，可得；令，可得，
，，
解得，且．
故选：．
本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
12．C
直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】
直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
13．
根据直线方程得直线斜率，结合倾斜角列方程，解得结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
本题考查斜率与倾斜角关系、由直线方程求直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
根据直线的点斜式方程可得答案.
【详解】
由题意知直线L的斜率，所以l的点斜式方程为．
故答案为：.
本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.
15．或
根据两直线垂直的性质得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为直线与直线垂直，
所以，解得或
故答案为：或
16．
把转化为两点距离的平方求解，可看成直线上的点与原点连线长度的平方的最小值，即为原点到该直线的距离平方.
【详解】
是直线上的任意一点，的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，
的最小值为原点到直线的距离的平方，
所求最小值为.
故答案为：.
【点晴】
本题主要考查点到直线的距离公式、根据几何性质求最值，着重考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.
17．①④
分别由直线的斜率公式、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对得出答案．
【详解】
对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
18．（1）；（2）或．
（1）由题意可得的斜率为，即可得所求直线的斜率，代入点斜式方程，即可得直线的方程，化简整理，即可得答案.
（2）当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，根据直线方程的截距式，代入点坐标，即可得直线方程；直线过原点时，设直线方程为，代入点坐标，即可得直线方程，综合即可得答案.
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，
化简得．
（2）由题意，当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，则所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
19．（1）证明见解析；；（2）.
（1）将直线化为，即可列式求出定点；
（2）由平行得出求解即可.
【详解】
解：（1）由，
化简，
令，解得，故直线恒过定点；
（2）由题得与直线平行，
，解得.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）用两点式写出直线方程并化简为一般式；
（2）用截距式写出直线方程交化简为一般式；
（3）由垂直求出直线斜率，设出直线方程的斜截式，代入点的坐标可得结论．然后方程化为一般式．
【详解】
解：（1）所求的直线方程为，
整理得.
（2）所求的直线方程为，
整理得.
（3）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
设所求直线方程为，将代入可得，
所以所求的直线方程为，即.
思路点睛：本题考查求直线方程，直线方程有形式多种多样：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，可以根据不同的条件写出直线方程，然后转化为一般式．
21．（1）；（2）.
（1）本小题先根据两点求直线的斜率，再运用点斜式求直线方程即可；
（2）本小题先求点A到直线BC的距离就是高，再求B、C两点的距离就是底边，最后求三角形面积即可.
【详解】
解：(1)∵ B(3， 3)，C(0，2)，
∴ ，
∴ BC边所在直线的方程：，即，
（2）A( 5，0)，∴点A到直线BC的距离为：
∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴
∴
本题考查过两点求斜率，点斜式直线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，是基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页