选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 714.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-13 15:15:06 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
3．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（ ）
A． B．6 C．或 D．6或-4
5．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解
C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解
9．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
10．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
14．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______.
16．已知A（1，12），B（3，4），过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，点D（0，1）到直线l2：3x+4y+k＝0的距离为d，则实数d的取值范围是 __.
三、解答题
17．已知直线.
（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；
（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.
18．求下列两点间的距离：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
19．已知直线：与：的交点为.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且平行于直线：的直线方程；
（3）求过点且垂直于直线：直线方程.
20．已知点，，，求证：是等腰三角形．
21．已知的三个顶点分别为,,．
（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．
（2）求的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标.
【详解】
解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，
设点的坐标为，所在直线的方向向量为，
则所在直线的斜率，
，得，
所以，则的中点坐标为，
边上的中线所在的直线方程为，
则的中点在直线上，
，解得：，
所以点的坐标为.
故选：A.
2．A
根据题意画出图像，根据图像分析可得直线，之间的距离的最大值为，即可得出结果.
【详解】
解：根据题意画出图像，如图所示：
根据图像可得：当，且，时，与之间的距离为；
当，但是与不垂直，与不垂直时，过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为；
因为，
所以.
故选：A .
本题主要考查数形结合的思想和两平行线间的距离，属于中档题.
3．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
4．C
根据两平行直线之间的距离公式即可求出．
【详解】
即，所以，间的距离为，解得或．
故选：C．
5．A
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
6．B
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
7．C
根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】
由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
8．B
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，
直线的斜率存在，所以，即，
且，所以，
由方程组，
可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
故选B．
本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
9．A
分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【详解】
因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A
10．C
根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
关键点睛：本题的关键是解方程组.
11．D
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
12．B
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
13．4
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
14．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
15．
根据两直线的方程可求得定点、的坐标，以及两直线垂直，进而可得，再结合即可求解.
【详解】
由可知，所以该直线过定点，
由可得，所以该直线过定点，
因为直线与垂直，
所以，
因为，
即，解得：，
所以的最大值为，
故答案为：.
16．
由题意利用直线的斜率公式求得k的范围，再利用点到直线的距离公式求得点D（0，1）到直线l2的距离d的范围.
【详解】
∵A（1，12），B（3，4），过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，
直线BC的斜率为 1，直线AC的斜率为 6，∴1≤k≤6.
点D（0，1）到直线l2：3x+4y+k＝0的距离为d∈[1，2]，
故答案为：[1，2].
17．（1）；（2）；（3）.
（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.
（2）根据直线，令得，再求解.
（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.
【详解】
（1）因为直线，
所以，
又因为直线的倾斜角为，
所以，
解得.
（2）因为直线，
令得，，
解得.
（3）因为直线与直线平行，
所以，解得，
所以直线，
两平行直线与之间的距离 .
本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）8；（2）3；（3）2；（4）．
（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；
【详解】
（1）|AB|＝6+2＝8；
（2）|CD|＝﹣1+4＝3；
（3）|PQ|2；
（4）|MN|．
19．（1）；（2）；（3）.
（1）联立直线与，即可求解；
（2）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；
（3）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；
【详解】
（1）由解得
所以点的坐标是；
（2）因为所求直线与平行，
所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为；
（3）因为所求直线与垂直，
所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为.
本题主要考查直线与直线的位置关系，重点考查直线的平行与垂直，属于基础题.
20．证明见解析.
由已知，根据两点间距离公式分别求出，得出，而，，三点不共线，即可证明是等腰三角形.
【详解】
证明：由题可知，，，，
，
，
，
，
又由坐标可知，，，三点不共线，
是等腰三角形．
本题考查两点间的距离公式的应用，以及等腰三角形的性质特征，属于基础题.
21．（1）;（2）7
（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.
（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.
【详解】
解:（1）因为,．
则边上的中点：.
可得中线所在直线的一般式方程：
．
化简得：．
故边上的中线所在直线的一般式方程为.
（2）,
直线的方程为：,
化为：．
点到直线的距离．
∴的面积.
本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
3．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（ ）
A． B．6 C．或 D．6或-4
5．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解
C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解
9．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
10．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线上的动点，则的最小值为___________.
14．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______.
16．已知A（1，12），B（3，4），过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，点D（0，1）到直线l2：3x+4y+k＝0的距离为d，则实数d的取值范围是 __.
三、解答题
17．已知直线.
（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；
（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.
18．求下列两点间的距离：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
19．已知直线：与：的交点为.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且平行于直线：的直线方程；
（3）求过点且垂直于直线：直线方程.
20．已知点，，，求证：是等腰三角形．
21．已知的三个顶点分别为,,．
（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．
（2）求的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标.
【详解】
解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，
设点的坐标为，所在直线的方向向量为，
则所在直线的斜率，
，得，
所以，则的中点坐标为，
边上的中线所在的直线方程为，
则的中点在直线上，
，解得：，
所以点的坐标为.
故选：A.
2．A
根据题意画出图像，根据图像分析可得直线，之间的距离的最大值为，即可得出结果.
【详解】
解：根据题意画出图像，如图所示：
根据图像可得：当，且，时，与之间的距离为；
当，但是与不垂直，与不垂直时，过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为；
因为，
所以.
故选：A .
本题主要考查数形结合的思想和两平行线间的距离，属于中档题.
3．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
4．C
根据两平行直线之间的距离公式即可求出．
【详解】
即，所以，间的距离为，解得或．
故选：C．
5．A
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
6．B
利用直线与直线：垂直，求得的斜率，然后求得与的交点坐标，在直线上取点，求出该点关于的对称点，利用斜率公式求得的值.
【详解】
解：直线与直线：垂直，则，即，
∵直线：与直线关于直线：对称，
∵由得得交点坐标，
在直线上取点，设该点关于对称的点为，则，得，故，解得，
故选：B.
7．C
根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】
由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
8．B
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，
直线的斜率存在，所以，即，
且，所以，
由方程组，
可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
故选B．
本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
9．A
分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【详解】
因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A
10．C
根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且，
没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为：，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由得：或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，
故选：C.
关键点睛：本题的关键是解方程组.
11．D
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
12．B
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
13．4
设点，则，求出点B关于直线的对称点为，问题转化为要使最短，则需最短，再由两点的距离公式和二次函数的性质可求得答案.
【详解】
设点，则，点B关于直线的对称点为，
则，解得，
所以要使最短，则需最短，
而，
又，设，所以，所以，
所以当时（满足），取得最小值，最小值为，
所以的最小值为4，
故答案为：4.
方法点睛：本题考查两距离和的最小值问题，常采用求得点关于直线的对称点，利用对称的性质解决线段和的最小值问题.
14．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.
【详解】
设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
15．
根据两直线的方程可求得定点、的坐标，以及两直线垂直，进而可得，再结合即可求解.
【详解】
由可知，所以该直线过定点，
由可得，所以该直线过定点，
因为直线与垂直，
所以，
因为，
即，解得：，
所以的最大值为，
故答案为：.
16．
由题意利用直线的斜率公式求得k的范围，再利用点到直线的距离公式求得点D（0，1）到直线l2的距离d的范围.
【详解】
∵A（1，12），B（3，4），过点C（﹣1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，
直线BC的斜率为 1，直线AC的斜率为 6，∴1≤k≤6.
点D（0，1）到直线l2：3x+4y+k＝0的距离为d∈[1，2]，
故答案为：[1，2].
17．（1）；（2）；（3）.
（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.
（2）根据直线，令得，再求解.
（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.
【详解】
（1）因为直线，
所以，
又因为直线的倾斜角为，
所以，
解得.
（2）因为直线，
令得，，
解得.
（3）因为直线与直线平行，
所以，解得，
所以直线，
两平行直线与之间的距离 .
本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）8；（2）3；（3）2；（4）．
（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；
【详解】
（1）|AB|＝6+2＝8；
（2）|CD|＝﹣1+4＝3；
（3）|PQ|2；
（4）|MN|．
19．（1）；（2）；（3）.
（1）联立直线与，即可求解；
（2）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；
（3）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；
【详解】
（1）由解得
所以点的坐标是；
（2）因为所求直线与平行，
所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为；
（3）因为所求直线与垂直，
所以设所求直线的方程为，
把点的坐标代入得，得，
故所求直线的方程为.
本题主要考查直线与直线的位置关系，重点考查直线的平行与垂直，属于基础题.
20．证明见解析.
由已知，根据两点间距离公式分别求出，得出，而，，三点不共线，即可证明是等腰三角形.
【详解】
证明：由题可知，，，，
，
，
，
，
又由坐标可知，，，三点不共线，
是等腰三角形．
本题考查两点间的距离公式的应用，以及等腰三角形的性质特征，属于基础题.
21．（1）;（2）7
（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.
（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.
【详解】
解:（1）因为,．
则边上的中点：.
可得中线所在直线的一般式方程：
．
化简得：．
故边上的中线所在直线的一般式方程为.
（2）,
直线的方程为：,
化为：．
点到直线的距离．
∴的面积.
本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.
答案第1页，共2页
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