选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 688.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-13 15:15:50 | ||
图片预览
文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．圆和圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与的值有关
5．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-31
8．已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
9．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
12．圆和圆的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
13．已知斜率为的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
14．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
15．已知圆的方程为，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知直线与圆交于两点，则________
17．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.
18．已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为__________.
三、解答题
19．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB QA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
20．已知圆C过点，且与圆相切于点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点M在直线上且位于第一象限，若过点M且在两坐标轴上截距相等的直线l与圆C相切，求切线l的方程.
21．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）若圆C被直线截得的弦长为，求圆C的方程；
（2）当圆C面积最小时，求圆C的方程.
22．已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出，故两圆外切.
【详解】
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
所以.
因为，所以圆和圆外切.
故选：C.
2．A
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
3．A
首先求出，即可求出，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从而得到面积的取值范围；
【详解】
解：直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以
故选：A
4．A
确定直线过定点，点在圆内，得到答案.
【详解】
过定点，且，
故在圆内，
故直线和圆相交.
故选：A
5．D
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点到直线的距离，
即，则所求圆的方程为.
故选：D．
6．D
若圆心为，则可求的斜率，由过即可写出弦所在直线方程.
【详解】
由题意，由圆心且，而，
∴，直线过，则所在直线方程为，
∴整理得：.
故选：D.
7．C
求得圆心坐标，判断圆心在直线上，从而根据弦长求得的值.
【详解】
圆的方程可化为，
所以圆心，圆心在直线上，
所以.
故选：C
8．D
连立与方程即可判断A、B的正误，由两圆方程求相交弦方程，将点坐标代入并作差即可判断C、D的正误.
【详解】
两圆方程相减可得直线的方程为，即，故C不正确；
连立可得中点，易知A、B错误.
∴，两式相减可得，故D正确.
故选：D
9．C
根据圆上总存在两点到原点的距离为1，转化为圆和圆相交，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，
即为圆和圆相交，
又由两圆圆心距，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为两个圆相交，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
10．C
连接，求出可求四边形面积的最小值.
【详解】
连接，则，
又，故
而四边形面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C.
11．D
计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
12．B
本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】
∵两个圆与，
∴圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
∴两圆圆心距为，
∵，
∴两圆相交，有条公切线.
故选：B.
13．B
设出直线方程为，利用垂径定理求出m，即可求出直线.
【详解】
圆的标准方程为，设直线的方程为，可知圆心到直线的距离为，有，有或，直线的方程为或．
故选：B
14．B
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
15．D
由题意可知当最小时，则弦最小，此时，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【详解】
解：由题意可得圆心坐标为，由三角形的大边对大角可知，当最小时，则弦最小，
所以，，
所以直线方程为，
故选：D.
16．
求出圆心和半径，再由距离公式得出圆心到直线的距离，最后由弦长公式得出.
【详解】
圆可化为
即圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离
故
故答案为：
17．或.
写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，
设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，
解得或，
所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，
故答案为：或.
18．
联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解．
【详解】
联立，设，
则，
因为，
所以有，解得.
故答案为：
19．（1）；（2），中不能有点选在点；
（1）设与圆交于，连接，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，，设点，，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，可得所求值；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，即可得到结论；
【详解】
解：设与圆交于，连接，
为圆的直径，可得，
即有，，，
以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，
（1）设点，，，
则，
即，
解得，所以，；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，
则，即，解得，，，
由，在此范围内，不能满足，上所有点到的距离不小于圆的半径，
所以，中不能有点选在点；
本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力．
20．（1）；（2）或.
（1）先设圆标准方程，再根据条件列出方程，解方程组得结果；
（2）由直线截距的概念，讨论两截距为0时和两截距不为0时，运算可得解.
【详解】
解：（1）设圆C的标准方程为，
圆，
可化为.
因为圆C过点，，
所以，，
又圆C与圆D相切于点，
所以C，D，E三点共线，则，
解得，半径.
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
当直线l过原点时，切线方程为，
则，因为，所以；
当直线l不过原点时，切线方程为，
则，因为，所以.
所以切线l的方程为或.
方法点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
21．（1）；（2）.
（1）根据题意得圆心，根据弦长、半径和点线距列方程求解即可；
（2）根据半径为可得最值.
【详解】
（1）∵圆心在直线上，∴，即圆心.
又圆C过点，故它的半径为,
且圆心C到直线的距离为.
若圆C被直线截得的弦长为，则，
求得，故圆心、半径，故圆C的方程为.
（2）由于圆C的半径为，故当半径最小时，圆的面积最小，故当时，圆的面积最小.
此时，圆心，半径为，圆的方程为.
22．（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.
（1）根据点与两个定点，之间的距离的比为，由求解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知成立；当直线的斜率存在时，设的方程，然后由求解.
【详解】
（1）由题意，得，即，
化简得，即.
点的轨迹的方程是，
轨迹是以为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．圆和圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与的值有关
5．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-31
8．已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
9．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
12．圆和圆的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
13．已知斜率为的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
14．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
15．已知圆的方程为，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．已知直线与圆交于两点，则________
17．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.
18．已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为__________.
三、解答题
19．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB QA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
20．已知圆C过点，且与圆相切于点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点M在直线上且位于第一象限，若过点M且在两坐标轴上截距相等的直线l与圆C相切，求切线l的方程.
21．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）若圆C被直线截得的弦长为，求圆C的方程；
（2）当圆C面积最小时，求圆C的方程.
22．已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
先根据两圆的方程，求出相应的圆心与半径，再通过计算得出，故两圆外切.
【详解】
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
所以.
因为，所以圆和圆外切.
故选：C.
2．A
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
3．A
首先求出，即可求出，再求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的高的取值范围，从而得到面积的取值范围；
【详解】
解：直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以
故选：A
4．A
确定直线过定点，点在圆内，得到答案.
【详解】
过定点，且，
故在圆内，
故直线和圆相交.
故选：A
5．D
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点到直线的距离，
即，则所求圆的方程为.
故选：D．
6．D
若圆心为，则可求的斜率，由过即可写出弦所在直线方程.
【详解】
由题意，由圆心且，而，
∴，直线过，则所在直线方程为，
∴整理得：.
故选：D.
7．C
求得圆心坐标，判断圆心在直线上，从而根据弦长求得的值.
【详解】
圆的方程可化为，
所以圆心，圆心在直线上，
所以.
故选：C
8．D
连立与方程即可判断A、B的正误，由两圆方程求相交弦方程，将点坐标代入并作差即可判断C、D的正误.
【详解】
两圆方程相减可得直线的方程为，即，故C不正确；
连立可得中点，易知A、B错误.
∴，两式相减可得，故D正确.
故选：D
9．C
根据圆上总存在两点到原点的距离为1，转化为圆和圆相交，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，
即为圆和圆相交，
又由两圆圆心距，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为两个圆相交，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
10．C
连接，求出可求四边形面积的最小值.
【详解】
连接，则，
又，故
而四边形面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C.
11．D
计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
12．B
本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.
【详解】
∵两个圆与，
∴圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
∴两圆圆心距为，
∵，
∴两圆相交，有条公切线.
故选：B.
13．B
设出直线方程为，利用垂径定理求出m，即可求出直线.
【详解】
圆的标准方程为，设直线的方程为，可知圆心到直线的距离为，有，有或，直线的方程为或．
故选：B
14．B
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
15．D
由题意可知当最小时，则弦最小，此时，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【详解】
解：由题意可得圆心坐标为，由三角形的大边对大角可知，当最小时，则弦最小，
所以，，
所以直线方程为，
故选：D.
16．
求出圆心和半径，再由距离公式得出圆心到直线的距离，最后由弦长公式得出.
【详解】
圆可化为
即圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离
故
故答案为：
17．或.
写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，
设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，
解得或，
所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，
故答案为：或.
18．
联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解．
【详解】
联立，设，
则，
因为，
所以有，解得.
故答案为：
19．（1）；（2），中不能有点选在点；
（1）设与圆交于，连接，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，，设点，，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，可得所求值；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，即可得到结论；
【详解】
解：设与圆交于，连接，
为圆的直径，可得，
即有，，，
以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，
（1）设点，，，
则，
即，
解得，所以，；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，
则，即，解得，，，
由，在此范围内，不能满足，上所有点到的距离不小于圆的半径，
所以，中不能有点选在点；
本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力．
20．（1）；（2）或.
（1）先设圆标准方程，再根据条件列出方程，解方程组得结果；
（2）由直线截距的概念，讨论两截距为0时和两截距不为0时，运算可得解.
【详解】
解：（1）设圆C的标准方程为，
圆，
可化为.
因为圆C过点，，
所以，，
又圆C与圆D相切于点，
所以C，D，E三点共线，则，
解得，半径.
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
当直线l过原点时，切线方程为，
则，因为，所以；
当直线l不过原点时，切线方程为，
则，因为，所以.
所以切线l的方程为或.
方法点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
21．（1）；（2）.
（1）根据题意得圆心，根据弦长、半径和点线距列方程求解即可；
（2）根据半径为可得最值.
【详解】
（1）∵圆心在直线上，∴，即圆心.
又圆C过点，故它的半径为,
且圆心C到直线的距离为.
若圆C被直线截得的弦长为，则，
求得，故圆心、半径，故圆C的方程为.
（2）由于圆C的半径为，故当半径最小时，圆的面积最小，故当时，圆的面积最小.
此时，圆心，半径为，圆的方程为.
22．（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.
（1）根据点与两个定点，之间的距离的比为，由求解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知成立；当直线的斜率存在时，设的方程，然后由求解.
【详解】
（1）由题意，得，即，
化简得，即.
点的轨迹的方程是，
轨迹是以为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页