选择性必修第一册3.3抛物线 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习
一、单选题
1．已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，为其焦点，抛物线上两点、满足，则线段的中点到轴的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
7．抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝－x
C．x2＝y D．x2＝－y
13．已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
14．如果抛物线的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
16．已知，，…，是抛物线上不同的点，且．若，则______．
17．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
18．抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为___________.
三、解答题
19．已知，是椭圆的左 右焦点，动点在椭圆上，且的最小值和最大值分别为1和3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧.过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点.当时，求点的坐标.
20．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
21．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围.
22．已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据题意画出示意图，根据抛物线性质进行转化为求最小值即可.
【详解】
如下图所示，由题意可判断在抛物线内部，且易得点，准线方程.
根据两点间距离公式得,根据抛物线性质得，当且仅当三点共线时等号成立，故的周长的最小值为.
故选:D
2．A
设，，抛物线的方程为由求出点，的坐标，进而可得点，的坐标，由列方程即可求得的值，进而可得抛物线的方程.
【详解】
设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
3．B
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离.
【详解】
解：抛物线的焦点,准线方程，
设，
，
解得，
∴线段的中点横坐标为，
∴线段的中点到轴的距离为，
故选：B.
本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题.
4．D
由题意可知：焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，即，解得：，即可求得的纵坐标．
【详解】
解：抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，准线方程为：，
设，由抛物线的定义可知：，解得：，
故选：D．
5．D
利用点差法，得到弦所在直线的斜率与弦中点纵坐标的关系式，再结合抛物线的定义即求.
【详解】
设，，弦的中点为，，
则，
所以，所以，
则，
所以弦的垂直平分线为．
令，则，所以．
又，
所以．
故选：D．
6．B
根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.设出直线的方程，并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】
因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，
所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，
将此方程代入，整理得．
设，，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：B．
7．C
根据准线方程直接列式计算.
【详解】
由已知，得
故选：C.
8．A
利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为，准线．
过点作，垂足为．
则，到轴的距离，
则点到点的距离与到轴的距离之和为
设，因此当、、三点共线时，取得最小值．
．
即的最小值为，
所以则点到点的距离与到轴的距离之和为.
故选：A.
9．B
分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.
【详解】
如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.
设，, ，由抛物线定义得：，故
在直角三角形中，， ，，， ，，
∥，， ，，所以抛物线的方程为.
故选：B
10．D
由抛物线的定义可得，圆心的轨迹为抛物线 。
【详解】
设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上.
故选：D.
本题考查了抛物线的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
11．A
先将抛物线方程化为标准方程，写出焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义得到，再利用平面几何知识求周长的最小值.
【详解】
将化为，
则其焦点，准线方程为，
则，设，
则由抛物线的定义，得，
所以的周长
（当且仅当轴时取得最小值）.
故选：A.
12．C
由题意设方程为x2＝2py(p>0)，点M(－4，5)代入计算即可.
【详解】
由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得所以，抛物线方程为．
故选：C．
13．B
联立直线与抛物线可求出中点的坐标，由题干条件可得出，从而求出点坐标，又点在抛物线上，代入抛物线方程可求出值.
【详解】
解：设，联立得：，解得：，因为为的中点，所以，
又因为，所以有，即，点在抛物线上，代入可得，解得：.
故选：B.
14．D
结合抛物线的知识确定正确答案.
【详解】
由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
15．D
根据已知条件列方程，化简求得的值，从而确定正确选项.
【详解】
抛物线的准线方程为，则，或-16．
故所求抛物线方程为或．
故选：D
16．16
设，，结合条件可得，利用抛物线的定义可得结果.
【详解】
设，
… 是抛物线上不同的点，点,准线为，
则，
所以
所以，即
故答案为：16
17．
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】
∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
18．
写出抛物线的准线，再利用抛物线的定义直接列式计算作答.
【详解】
抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，
抛物线方程为，而在抛物线上，则，原点为O，即有，
所以M到坐标原点的距离为.
故答案为：
19．（1）；（2）.
(1)由椭圆上的点到一焦点距离最大、最小值求出a及半焦距c即可得解；
(2)设出点M坐标，过点M的椭圆切线方程，联立切线与椭圆组成的方程组，消元后利用判别式等于0建立关系即可得解.
【详解】
（1）设椭圆半焦距为c，依题意有，解得，，，
所以椭圆方程为；
（2）设，，，过点的椭圆切线斜率为k，此切线方程为，
由，得，
由得到，切线MA，MB的斜率分别为k1，k2，
所以，，显然y1=(-2-t2)k1，y2=(-2-t2)k2，
则，而，
所以，即，解得或(舍去)，
所以点的坐标为.
方法点睛：联立直线l与椭圆C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为：
(1)直线l与椭圆C相交；(2)直线l与椭圆C相切；(3)直线l与椭圆C相离.
20．(1)，
(2)或或
（1）根据题意，代点计算，即可求解；
（2）根据题意，易知点不在抛物线上，分别讨论过点的直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况，即可求解.
(1)
由抛物线C：过点，
可得，解得.
所以抛物线C的方程为，其准线方程为.
(2)
根据题意，易知点不在抛物线上.
①当直线l的斜率不存在时，符合题意；
②当直线l的斜率为0时，符合题意；
③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，
由，得，由，得，
故直线l的方程为.
综上直线l的方程为或或.
21．（1）；（2）.
由抛物线的定义可得，再代入可求得，可得抛物线的标准方程为.
由直线垂直的条件建立关于点A、B的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.
【详解】
解：依题意得设，
又点是上一点，所以，得，即，
所以抛物线的标准方程为.
由题意知， 设
则，因为，所以，
所在直线方程为，联立.
因为，得，即，
因为，即，故或
经检验，当时，不满足题意.
所以点B的横坐标的取值范围是.
关键点点睛：解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围.
22．（1） （2）证明见解析
(1) 设,根据条件可得，即，代入抛物线方程，即可求出答案.
(2) 设的方程为：，,由方程联立可得，根据，可得，从而得答案.
【详解】
（1）设，根据抛物线的定义可得
又轴于点，则
，所以 ，则
所以，由在抛物线上，，解得
所以抛物线的方程为
（2）证明：点在抛物线上.
设的方程为：，
由 得
所以，整理得
将代入得，即.
所以直线恒过定点
本题考查求抛物线的方程，考查直线过定点问题，属于中档题.
答案第1页，共2页
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