选择性必修第一册第二章直线和圆的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册第二章直线和圆的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 683.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-13 15:19:42 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程
一、单选题
1．若两直线与平行，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
2．若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若圆过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1 B．或 C．2 D．
4．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两条直线，，若与平行，则为（ ）
A． B． C．或 D．
7．过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则方程能表示的不同圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
10．已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为___________.
14．顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
15．已知直线，直线，若，则实数______．
16．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.
三、解答题
17．已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
18．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
19．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
20．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB QA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
21．已知圆心在直线上，且过点、．
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.
【详解】
由题意知：，整理得，
∴，
故选：A
2．C
根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案．
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，
若原点在圆的外部，
则有，则有，
综合可得：；
故选：C.
3．C
把代入圆方程计算，注意方程要表示圆．
【详解】
表示圆，
，
．又圆过原点，，或（舍去），．
故选：C．
4．C
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
5．C
由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即.
故选：C.
6．A
由题意利用两条直线平行的性质，求得的值．
【详解】
解：两条直线，，
若与平行，则且，由解得或，
当时故舍去，所以；
故选：A．
7．C
设点坐标为，写出以为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点代入方程，由此得出结论．
【详解】
解：设点坐标为，
根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，
两圆方程作差可得公共弦的方程为，
而在直线上，，
故点的轨迹方程为，
故选：C．
8．B
化简圆为，得到，解得，结合，即可求解.
【详解】
由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
9．D
先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.
【详解】
设圆 圆的半径分别为 .圆的方程可化为，
圆的方程可化为.
由两圆相切得，或，
∵，
∴或或或(舍去).
因此， 解得a=34
或 解得
故选:D.
本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.
10．D
作出图形，将视为斜率，进而结合图形得到答案.
【详解】
由题意，，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点P（x,y）与原点联系的斜率，如图：
易知，点P位于P1（x轴上方的切点）时取得最大值，
设切线为：，于是圆心到切线的距离.
故选：D.
11．C
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
12．C
由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】
解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
13．
由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.
【详解】
由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，
∴“欧拉线”的方程为.
故答案为：.
14．
设圆的标准方程为，将，，代入计算即可得结果.
【详解】
设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为
故答案为：
15．
由由有，即可求，然后验证、是否重合.
【详解】
∵，有，
∴，解得或，
当时，，，即、为同一条直线；
当时，，，即；
∴，
故答案为：
16．或.
写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，
设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，
解得或，
所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，
故答案为：或.
17．（1）1；（2）4或．
（1）分别令，，得到截距，解方程即可;
（2）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
【详解】
（1）易知直线l的截距不能为0，
令，，令，；
则
故a的值为1
（2）圆心到直线l的距离
或
故a的值为4或.
18．（1）；（2）.
（1）由，得到为，结合直线的方程，求得直线的斜率，进而求得边所在直线的方程；
（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到为外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.
【详解】
（1）由，可得，
又由在上，所以，所以为，
因为边所在直线的方程为，斜率为,
所以直线的斜率为，
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）边所在直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，
又由，
所以外接圆的方程为.
19．（1）；（2）.
（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】
（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
20．（1）；（2），中不能有点选在点；
（1）设与圆交于，连接，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，，设点，，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，可得所求值；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，即可得到结论；
【详解】
解：设与圆交于，连接，
为圆的直径，可得，
即有，，，
以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，
（1）设点，，，
则，
即，
解得，所以，；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，
则，即，解得，，，
由，在此范围内，不能满足，上所有点到的距离不小于圆的半径，
所以，中不能有点选在点；
本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力．
21．（1）；（2）或.
（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程；
（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程．
【详解】
由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．若两直线与平行，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
2．若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若圆过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1 B．或 C．2 D．
4．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两条直线，，若与平行，则为（ ）
A． B． C．或 D．
7．过圆内一点作一弦交圆于、两点，过点、分别作圆的切线、，两切线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则方程能表示的不同圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
10．已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为___________.
14．顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
15．已知直线，直线，若，则实数______．
16．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.
三、解答题
17．已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
18．如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
19．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
20．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB QA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．
21．已知圆心在直线上，且过点、．
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.
【详解】
由题意知：，整理得，
∴，
故选：A
2．C
根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案．
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，
若原点在圆的外部，
则有，则有，
综合可得：；
故选：C.
3．C
把代入圆方程计算，注意方程要表示圆．
【详解】
表示圆，
，
．又圆过原点，，或（舍去），．
故选：C．
4．C
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
5．C
由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即.
故选：C.
6．A
由题意利用两条直线平行的性质，求得的值．
【详解】
解：两条直线，，
若与平行，则且，由解得或，
当时故舍去，所以；
故选：A．
7．C
设点坐标为，写出以为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点代入方程，由此得出结论．
【详解】
解：设点坐标为，
根据圆的直径式方程知，以为直径的圆的方程为，
两圆方程作差可得公共弦的方程为，
而在直线上，，
故点的轨迹方程为，
故选：C．
8．B
化简圆为，得到，解得，结合，即可求解.
【详解】
由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
9．D
先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.
【详解】
设圆 圆的半径分别为 .圆的方程可化为，
圆的方程可化为.
由两圆相切得，或，
∵，
∴或或或(舍去).
因此， 解得a=34
或 解得
故选:D.
本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.
10．D
作出图形，将视为斜率，进而结合图形得到答案.
【详解】
由题意，，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点P（x,y）与原点联系的斜率，如图：
易知，点P位于P1（x轴上方的切点）时取得最大值，
设切线为：，于是圆心到切线的距离.
故选：D.
11．C
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
12．C
由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】
解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
13．
由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.
【详解】
由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，
∴“欧拉线”的方程为.
故答案为：.
14．
设圆的标准方程为，将，，代入计算即可得结果.
【详解】
设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为
故答案为：
15．
由由有，即可求，然后验证、是否重合.
【详解】
∵，有，
∴，解得或，
当时，，，即、为同一条直线；
当时，，，即；
∴，
故答案为：
16．或.
写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.
【详解】
因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，
设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，
解得或，
所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，
故答案为：或.
17．（1）1；（2）4或．
（1）分别令，，得到截距，解方程即可;
（2）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
【详解】
（1）易知直线l的截距不能为0，
令，，令，；
则
故a的值为1
（2）圆心到直线l的距离
或
故a的值为4或.
18．（1）；（2）.
（1）由，得到为，结合直线的方程，求得直线的斜率，进而求得边所在直线的方程；
（2）由（1）边所在直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到为外接圆的圆心，进而求得圆的标准方程.
【详解】
（1）由，可得，
又由在上，所以，所以为，
因为边所在直线的方程为，斜率为,
所以直线的斜率为，
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）边所在直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为，所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，
又由，
所以外接圆的方程为.
19．（1）；（2）.
（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】
（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
20．（1）；（2），中不能有点选在点；
（1）设与圆交于，连接，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，，设点，，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，可得所求值；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的坐标，即可得到结论；
【详解】
解：设与圆交于，连接，
为圆的直径，可得，
即有，，，
以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，则，，
（1）设点，，，
则，
即，
解得，所以，；
（2）当时，上的所有点到原点的距离不小于圆的半径，设此时，，
则，即，解得，，，
由，在此范围内，不能满足，上所有点到的距离不小于圆的半径，
所以，中不能有点选在点；
本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力．
21．（1）；（2）或.
（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程；
（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程．
【详解】
由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
答案第1页，共2页
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