选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何
一、单选题
1．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）
A． B． C．5 D．7
2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
3．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．有以下命题：①若，则与 共面；②若与 共面，则；③若，则 四点共面；④若 四点共面，则；⑤若存在，使，则；⑥若 不共线，则空间任一向量().其中真命题是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥
6．已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
9．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
11．若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
12．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若向量与共线，且方向相同，则x＝______．
14．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
15．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
16．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则________.
三、解答题
17．如图，在三棱锥中，底面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．
18．如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
20．已知四边形，，，将沿翻折至.
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.
21．如图，直三棱柱底面中，，，棱，是的中点.
（1）求，的值；
（2）求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
求出，，利用与数量积为0，求解即可.
【详解】
，
可得，，
故选：D
2．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
3．D
利用空间向量的加、减运算即可求解.
【详解】
由题意可得
.
故选：D

4．B
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面与平面所成二面角的余弦值为求出的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案
【详解】
解：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
平面的一个法向量为，
由题意得，解得或（舍去），
延长，设，连接，交于，延长，交的延长线于，连接，交于，则五边形为截面图形，
由题意求得，，，，，，截面五边形如图所示，
则等腰三角形底边上的高为，等腰梯形的高为，
则截面面积为
故选：B
关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为求出，属于中档题
5．B
根据空间向量基本定理一一判断即可；
【详解】
解：①正确，由平面向量基本定理可得，若，则与 共面；
②不正确，若 均为零向量，为非零向量，则后式不成立，
③正确，由平面向量基本定理得，
④不正确，若 均为零向量，为非零向量，则后式不成立，
⑤不正确，若 为相反向量时，，，
⑥不正确，若 不共线，当与 所在的平面垂直时，则后式不成立，
故选：B.
6．B
作出图形，如图，通过分析，可得为与平面所成的角的补角，利用余弦定理可以计算.
【详解】
作出如下图形，令，则，，
取中点，连接，则即为与平面所成的角的补角，
在中，，
在中，，
，
，
与平面所成的角的余弦值是.
故选：B.
本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.
7．A
当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．
【详解】
解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,
所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
8．D
以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
【详解】
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．
9．D
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.
【详解】
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.
10．B
利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.
【详解】
．
故选：B.
11．D
根据空间向量共面定理判断．
【详解】
当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；
若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
12．D
过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】
过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
13．
设，且λ＞0，则即可计算值．
【详解】
因为向量与共线，且方向相同，所以，且λ＞0，从而有
，
所以，解得x＝，符合题意．
故答案为：
14．2
题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解】
解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
15．
根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】
解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
16．1
由于向量，，共面，所以存在实数，，使得，然后将向量，，代入化简可得，从而可求出的值
【详解】
因为向量，，共面，所以存在实数，，使得，
则，
则，解得.
故答案为：1
此题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题
17．（1）证明见解析；（2）60°．
（1）根据根据线面垂直的判断得平面，进而证明平面平面；
（2）解法一：根据题意得，进而过点作于，则平面且为中点，连接，则为直线与平面所成的角，再根据几何关系求解即可；
解法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】
（1）因为底面，所以，
又，所以，
又，为平面内的两条相交直线，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）解法一：由（1）可知，为二面角的平面角，所以，
又，，，所以，
过点作于，则平面且为中点，连接，
则为直线与平面所成的角，
在中，，，
所以，
故，
所以直线与平面所成的角为60°．
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知，可得，，，，
设，（），则，，，
因为，，，
所以，
解得，所以，故，
设平面的法向量为，因为，，
由，得，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以，
故直线与平面所成的角的正弦值为，
所以直线与平面所成的角为60°．
18．（1）证明见解析；（2）．
（1）根据四边形为菱形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面，然后利用线面平行的性质定理证明.
（2）以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M，连EM，OM，分别求得平面一个法向量为，平面一个法向量为，然后由求解.
【详解】
（1）因为四边形为菱形，所以，
平面，平面
平面，
因为平面平面直线平面，
所以；
（2）因为四边形为菱形，所以，
因为平面，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
取CD中点M，连EM，OM，
，，
为正三角形，，
，
，
从而，
设平面一个法向量为，
则，即，
令，
设平面一个法向量为，
则，即，
令，
，
因此二面角的余弦值为.
方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；
（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.
(1)
因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，
所以平分，所以，
所以，
又因为平面，所以，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
(2)
据题意，建立空间直角坐标系如图所示：
因为，所以
所以，
设平面一个法向量为，平面一个法向量为，
因为，，
所以，取，所以，所以，
又因为，，
所以，取，则，所以，
所以，
由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为．
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
（Ⅰ）证面推出；
（Ⅱ）作出二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦.
【详解】
（Ⅰ）取的中点E，连接，
不妨设，则，即
因为，所以，则，
又因为，所以，且，
∴面，面，则.
（Ⅱ）取的中点O，连接，，，
不妨设，则，即
因为，则，
又因为O为中点，E为的中点，则，所以，
所以为二面角的平面角.
因此以点O为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建空间直角坐标系如图：
，，，
设面的法向量为，，
，
则，所以，令，则，
所以面的一个法向量为，
设与面所成的角为，则.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）求向量的夹角问题，由，在坐标系中读出的坐标，根据坐标减法求出，，，并求出其模长，再次根据夹角公式可以求解.
（2）要证明，只需要证明，根据各个点坐标进行向量计算可证.
【详解】
（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，0，，，1，，，，，
，1，，，.
（2）证明：，0，，，1，，，0，，，
，1，，，，，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页