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2022高考数学真题分类汇编
四、平面向量
一、选择题
1.（2022·全国乙（文）T3） 已知向量，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.（2022·全国乙（理）T3） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3.（2022·新高考Ⅰ卷T3） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T4） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
二、填空题
5.（2022·全国甲（文）T13） 已知向量．若，则______________．
6.（2022·全国甲（理）T13） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
变式训练
一、单选题
1（河南省许平汝联盟2022届高三下学期核心模拟卷文科数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．（山东省青州市2022届高三下学期打靶题数学试题）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（河南省安阳市2022届高三下学期高考模拟试题理科数学试题）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（云南省师范大学附属中学2022届高三下学期高考适应性月考卷数学试题）在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（山东省聊城市2022届高三5月三模数学试题）在中，点D在边上，且，若，则（ ）
A． B．3 C．2 D．1
7．（湖北省卓越高中千校联盟2022届高三高考终极押题卷数学试题）已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（湖北省黄冈中学2022届高三下学期5月适应性考试数学试题）已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（福建省福州格致中学2022届高三数学模拟试题）中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
10．（2022天津耀华中学高三模拟）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2022重庆南开中学高三模拟）在平面四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022辽宁本溪高级中学高三模拟）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
13．（2022东北育才中学高三模拟）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角，则
B．若，则
C．若，则，的夹角为
D．若，则为圆O的一条直径
14．（2022安徽合肥六中高三模拟）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
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2022高考数学真题分类汇编
四、平面向量
一、选择题
1.（2022·全国乙（文）T3） 已知向量，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
2.（2022·全国乙（理）T3） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
3.（2022·新高考Ⅰ卷T3） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4.（2022·新高考Ⅱ卷T4） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
二、填空题
5.（2022·全国甲（文）T13） 已知向量．若，则______________．
【答案】或
【解析】
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
6.（2022·全国甲（理）T13） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
变式训练
一、单选题
1（河南省许平汝联盟2022届高三下学期核心模拟卷文科数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
所以.
故选：C.
2．（山东省德州市2022届高三三模数学试题）已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由两个向量平行的条件求解即可.
【详解】
与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得，
故选：B．
3．（山东省青州市2022届高三下学期打靶题数学试题）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由得，将转化为和圆上点之间的距离，即可求出最大值.
【详解】
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故选：B.
4．（河南省安阳市2022届高三下学期高考模拟试题理科数学试题）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.
【详解】
，，又，，
.
故选：D.
5．（云南省师范大学附属中学2022届高三下学期高考适应性月考卷数学试题）在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为D,E，将，变为，根据数量积的几何意义可得，同理求得，根据数量积的定义即可求得答案.
【详解】
如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故选：B
6．（山东省聊城市2022届高三5月三模数学试题）在中，点D在边上，且，若，则（ ）
A． B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
先用表示出，再由求得，即可求解.
【详解】
由题意知：，
则，
即，则，即.
故选：B.
7．（湖北省卓越高中千校联盟2022届高三高考终极押题卷数学试题）已知是斜边上的高，，点M在线段上，满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合数量积的运算可得，由是斜边上的高，，可得，然后对化简可求得结果
【详解】
因为是斜边上的高，
所以,,
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
,
故选：A
8．（湖北省黄冈中学2022届高三下学期5月适应性考试数学试题）已知平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量与互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果.
【详解】
平面向量与互相垂直，模长之比为2：1，则且，得，又，则，将平方得，解得，,则，设与的夹角为，则，
故选：A.
9．（福建省福州格致中学2022届高三数学模拟试题）中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由向量共线定理求出，进而求出AD=3，再用余弦定理求出CD的长即可.
【详解】
在△ABC中，由余弦定理得：
设，，因为，
所以，即，
因为A、B、D三点共线，
所以，
解得：，
所以，
即
因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为，所以.
故选：A
10．（2022天津耀华中学高三模拟）已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案.
【详解】
因为，又与的夹角为钝角，
当与共线时， ，
所以且与的不共线，即且，
所以，
故选：D．
二、多选题
11．（2022重庆南开中学高三模拟）在平面四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据所给的条件，判断出四边形内部的几何关系即可.
【详解】
因为，，可得，
所以为等边三角形，则 ，故A正确；
因为，所以，又，所以 ，
得，
所以，则，故B正确；
根据以上分析作图如下：
由于与不平行，故C错误；
建立如上图所示的平面直角坐标系，
则，，，
，，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．（2022辽宁本溪高级中学高三模拟）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是2 D．最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.
【详解】
以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
13．（2022东北育才中学高三模拟）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．若角，则
B．若，则
C．若，则，的夹角为
D．若，则为圆O的一条直径
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则，由正弦定理求出AB,利用数量积的几何意义求得，即可判断；对于B,利用向量的加法运算可推出，即可判断；对于C，将平方，结合数量积的定义可求得，的夹角；对于D,根据数量积的运算律可推出，判断BC为圆的直径，即可判断D.
【详解】
对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,
由正弦定理得 ，
故,故A错误；
对于B,由得，，
即,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故，B正确；
对于C，设，的夹角为 ，
由得，，即 ，
解得 或，
由于，故，故，
则，的夹角为，C正确；
对于D,由 得，
即，则为圆O的一条直径，D错误，
故选:BC
14．（2022安徽合肥六中高三模拟）已知单位向量的夹角为,则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与可以作为平面内的一组基底
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可
【详解】
据题意
因为
所以,所以对
因为,所以,所以对.
因为
所以,所以错
因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确
故选：ABD
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