中小学教育资源及组卷应用平台
2022高考数学真题分类汇编
六、数列
一、选择题
1.（2022·全国乙（文）T10）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
2.（2022·全国乙（理）T8） 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3.（2022·全国乙（理）T4） 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T3） 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
【答案】D
【解析】
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
5.（2022·浙江卷T10） 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
二、填空题
6.（2022·全国乙（文）T13）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
7.（2022·北京卷T15） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
三、解答题
9.（2022·全国甲（文T18）(理T17）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【小问1详解】
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【小问2详解】
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
10.（2022·新高考Ⅰ卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】
∴
11.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【小问1详解】
设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
【小问2详解】
由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
12.（2022·北京卷T21） 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．
（2）证明见解析． （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．
【小问1详解】
，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
【小问2详解】
若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
【小问3详解】
，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
．
13.（2022·浙江卷T20） 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
【小问2详解】
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
变式训练
一、单选题
1．（2022·四川·树德中学模拟预测（理））设是等差数列的前n项和，若，且，设，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】
设等差数列的公差为 ,由得，
，即 ，
由得，，
即，
解得，
故选：C.
2．（2022·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】
【分析】
求得数列的通项公式，再分析数列的单调性即可
【详解】
依题意，因为，其中，当时，，
当时，，，两式相除有，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为
故选：A
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意整理得，结合等差数列通项公式可得，再利用裂项相消运算处理．
【详解】
∵，即，则
∴数列是以首项，公差的等差数列
则，即
∴
则
故选：B．
4．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差中项及等比中项的性质求解即可.
【详解】
由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.
故选：B.
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意利用累加法求解即可
【详解】
因为数列满足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故选：B
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题干条件构造等比数列，进行求解.
【详解】
令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．
7．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三分康托集的构造过程可知：经历第步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是，根据规律即可求出属于，进而根据不等式可求解.
【详解】
不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间
经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，
经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为
由化简得，解得
故选:A
8．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C．200 D．400
【答案】C
【解析】
【分析】
利用关系及等差数列的定义求的通项公式，进而可得，根据正弦函数的周期性并讨论，求得，即可求.
【详解】
由题设，则，
所以，又为正项数列，则，
由，可得，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故，
当且，；
当且，；
当且，；
当且，；
则，
由.
故选：C
9．（2022·浙江·模拟预测）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．数列存在最大项 D．数列存在最小项
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件可得，即得，由，得，由数列的单调性可判断选项A，B；由关系式可得，，从而可判断数列的最大项和最小项.
【详解】
由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，
故选项B错误；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．
故选：B．
二、多选题
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】
当时，解出，当时，由退位相减法求得，讨论和，求出数列的通项，再依次判断即可.
【详解】
当时，，解得或，当时，，，
整理得，当时，若，可得，若，，
可得数列为等比数列，；当时，可得，数列为等差数列，
若，可得，若，可得；故A错误；B正确；C正确；当时，；
当时，；当时，；当时，；故D正确.
故选：BCD.
11．（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下 从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，即得.
【详解】
将圆盘从小到大编为号圆盘，则将第号圆盘移动到3号柱时，需先将第号圆盘移动到2号柱，需次操作；
将第号圆盘移动到3号柱需1次操作；
再将号圆需移动到3号柱需次操作，
故，，又，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即，
∴.
故选：AD.
12．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A，利用化简可得答案；
对于B，利用化简可得答案；
对于C，利用化简可得答案；
对于D，根据可得答案.
【详解】
对于A，因为为等差数列，所以，
即，所以，
化简得，所以，故A正确；
对于B，因为为等差数列，所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，因为为等差数列，所以，
所以，
化简得，所以或，故C不正确；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以，
所以也为等差数列，且公差为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前项和为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，从而，即可求出，继而可得，利用裂项求和求得答案.
【详解】
由，得：，
即，则，
故是首项为，公差为1的等差数列，
故，所以，
故，
所以数列的前项和为 ，
故答案为：
14．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））对于数列定义：，，，，，称数列为数列的阶差分数列.如果（常数），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是阶等差数列，且，，，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给的递推关系，可求，，根据是阶等差数列，可得是以3为首项，公差为1的等差数列，进而可用递推累加进行求解.
【详解】
由题意可知，，所以，又是阶等差数列,故，所以可得是以3为首项，公差为1的等差数列 ，故，即，所以 .
故答案为：
15．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据条件求得等比数列{}的前n项和为，代入中可看出可以通过裂项相消法求和．
【详解】
等比数列{}中、为方程的两根
，
设数列{}的公比为，则，且
又，所以，
所以
∴
∴
∴数列的前2022项和
，
故答案为：.
16．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，点O为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件及斜率公式，结合裂项相消法即可求解.
【详解】
由题意可得是直线的倾斜角，
∴，
∴
.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.
（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.
(1)
解：由题意得：
由题意知，则
又，所以是公差为2的等差数列，则；
(2)
由题知
则
18．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据代入整理得，结合理解处理；（2）代入整理得，利用裂项相消进行求和．
(1)
由，得
两式相减可得，
因为，得
数列为3，，3，，3，，3，
即，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
(2)
由
则有
所以，
19．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，代入给定等式并变形，再利用等比数列定义判断作答.
（2）利用分组求和法求出，作与的差，构造新数列并判断其单调性即可推理作答.
(1)
，由得：，而，
则，整理得，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)
由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，显然数列是递增数列，而，
即时，，，当时，，
所以，当时，，当时，.
20．（2022·山东聊城·三模）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前15项的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式.
（2）由（1）有n为奇数时，n为偶数时，再应用分组求和、等比数列前n项和公式求前15项的和.
(1)
由得，
当n=1时，，解得.
当n≥2时，，从而，即，
因此数列是等比数列，其首项和公比都等于2，所以.
(2)
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以数列的前15项和为
.
21．（2022·浙江·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据，求得数列的首项和的公比进而得到通项公式；再根据求解；
（2）由（1）得到，易知时成立，当时，由 证明.
(1)
解：因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
，
；
(2)
．
当时，，
当时，，则，
所以，
.
22．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由等差中项定义和下标和性质可求得；利用可构造方程求得公差，利用等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得.
(1)设等差数列的公差为，
与的等差中项为，，解得：；
，，
；
(2)由（1）得：，即，
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2022高考数学真题分类汇编
六、数列
一、选择题
1.（2022·全国乙（文）T10）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
2.（2022·全国乙（理）T8） 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
3.（2022·全国乙（理）T4） 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T3） 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
5.（2022·浙江卷T10） 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6.（2022·全国乙（文）T13）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
7.（2022·北京卷T15） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题
9.（2022·全国甲（文T18）(理T17）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
10.（2022·新高考Ⅰ卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
11.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
12.（2022·北京卷T21） 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
13.（2022·浙江卷T20） 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
变式训练
一、单选题
1．（2022·四川·树德中学模拟预测（理））设是等差数列的前n项和，若，且，设，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2022·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021 B． C． D．
4．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C．200 D．400
9．（2022·浙江·模拟预测）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．数列存在最大项 D．数列存在最小项
二、多选题
10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20
11．（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下 从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，，则数列的前项和为________．
14．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））对于数列定义：，，，，，称数列为数列的阶差分数列.如果（常数），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是阶等差数列，且，，，则数列的通项公式为__________.
15．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．
16．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，点O为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则的值为______．
四、解答题
17．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
18．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设，数列的前项和记为，证明：.
19．（2022·上海·模拟预测）在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
20．（2022·山东聊城·三模）设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前15项的和.
21．（2022·浙江·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．
(1)求的值．
(2)若，求证：．
22．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．
(1)求的通项公式；
(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
