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2022高考数学真题分类汇编
八、计数原理
1.（2022·北京卷T）8. 若，则（ ）
A. 40 B. 41 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
2.（2022·浙江卷T12） 已知多项式，则__________，___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
3.（2022·新高考Ⅰ卷T13） 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
变式训练
一、单选题
1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））2022年第24届冬季奥林匹克运动会，冰上项目共有五种：冰壶、冰球、速度滑冰、短道速滑、花样滑冰．小王是一个冰上项目爱好者，他想前往现场观看，由于赛程的原因，他只能从五项冰上项目中选择其中三项进行观看，则小王恰好选中花样滑冰的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】
小王恰好选中花样滑冰的概率为，
故选：A
2．（2022·浙江·模拟预测）在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．1485
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案.
【详解】
解：，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
故选：A．
3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（ ）
A．17 B．29 C．56 D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出所有可能安排的方法数，再应用间接法求甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数.
【详解】
由题意，任意安排的方法数有种，
甲被安排到张家口有种，同理乙被安排到延庆有种，
甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有种，
所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为种.
故选：A
4．（2022·吉林·三模（理））对于的展开式，下列说法不正确的是（ ）
A．有理项共5项 B．二项式系数和为512
C．二项式系数最大的项是第4项和第5项 D．各项系数和为
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式展开式的通项公式与二项式系数的性质求解判断.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
当时，展开式的项为有理项，
所以有理项有5项，A正确；
所有项的二项式系数和为，B正确；
因为二项式的展开式共有10项，
所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误；
令，所有项的系数和为，D正确.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.
【详解】
由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，
其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种 ,
故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为 ，
故选：B
6．（2022·全国·模拟预测（理））为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于年首次实施供需对接就业育人项目．某市今年计划安排甲、乙、丙所高校与家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接所高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接家用人单位，乙、丙两所高校分别至少对接家用人单位，则不同的对接方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】
【分析】
将方案分为乙、丙高校各对接家用人单位和乙、丙高校其中一所对接家用人单位，另一所对接家用人单位两种情况，根据分组分配的方法可计算得到每种情况对应的方案数，加和即可求得结果.
【详解】
若乙、丙高校各对接家用人单位，则对接方案有种；
若乙、丙高校其中一所对接家用人单位，另一所对接家用人单位，则对接方案有种；
综上所述：不同的对接方案共有种.
故选：C.
7．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）的展开式中的系数为（ ）
A．80 B．24 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把给定积式化成，再分析展开式即可求解作答.
【详解】
依题意，，显然展开式中没有项，
展开式的项为，
所以的展开式中的系数为80.
故选：A
8．（2022·山东聊城·三模）的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】
的展开式通项为，
因为，
在中，令可得，
在中，令可得，
因此，展开式中项的系数为.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·山东师范大学附中模拟预测），若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．二项式系数的和为 D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出的值，可判断A选项；利用赋值法可判断BD选项；利用二项式系数和可判断C选项.
【详解】
对于A选项，，可得，A对，
对于B选项，因为，
所以，，B错；
对于C选项，二项式系数的和为，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
10．（2022·山东师范大学附中模拟预测）感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（ ）
A．不同的安排方法数为
B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法
C．小晗被安排到甲学校的概率为
D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用分组分配原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑法可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用条件概率公式可判断D选项.
【详解】
对于A选项，将位志愿者分成组，每组至少一人，每组人数分别为、、或、、，
再将这三组志愿者分配给个地区，不同的安排方法种数为种，A对；
对于B选项，若甲学校至少安排两人，则甲校安排人或人，
则不同的安排方法种数为种，B错；
对于C选项，若小晗被安排到甲学校，则甲校可安排的人数为或或，
由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲学校的概率为，C对；
对于D选项，记事件小晗被安排到甲校，事件甲学校安排两人，
则，，
由条件概率公式可得，D错.
故选：AC.
11．（2022·重庆南开中学模拟预测）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列
B．如果是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列
C．如果是合法括号序列，则A也是合法括号序列
D．长度为8的合法括号序列共有14种
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据合法括号序列的定义可判断A；举反例可说明B,C的正误；分类讨论，考虑在前面四个位置上左括号的个数，算出符合条件的合法括号序列共有14种，判断D.
【详解】
出题意知如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列,A正确;
对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；
对于C, 如果是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，
但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；
对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，
分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；
（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，6，7个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有个；
（3）当前4个位置有2个左括号时，
则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，满足条件序列共有个，综上，共有个，D正确，
故选：AD．
12．（2021·辽宁·模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于AB，将20个名额分给n个班，且每个班至少有一个名额，相当于在20个物体的19个空中，选个位置分隔，用插空法；对于CD，将问题转化为将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合挡板法求解即可得到.
【详解】
解：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；
对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，
再将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有种，故C错误，D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中的常数项是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意令，得展开式中各项系数的和为，可求，借助于展开式的通项分析运算．
【详解】
令，得展开式中各项系数的和为，则，
展开式的通项为
令，得；
令，无整数解，
故展开式中常数项为．
故答案为：．
14．（2022·吉林·三模（理））为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．
【答案】27
【解析】
【分析】
运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可.
【详解】
当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为；
当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为，
所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为，
故答案为：27
15．（2022·天津·耀华中学二模）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为___________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
根据甲 乙两人组成一组和甲 乙两人与其他三人中选一人组成一组二种情况分类讨论求解即可.
【详解】
当甲 乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
当甲 乙两人与其他三人中选一人组成一组时，
不同的专家派遣方案总数为：，
所以专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：，
故答案为：
16．（2022·山东泰安·模拟预测）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.
【答案】30
【解析】
【分析】
所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可.
【详解】
要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几类：
和为6的回文数：，，此时有个.
和为12的回文数：，，，，此时有个.
和为18的回文数：，，，，，此时有个.
和为24的回文数：，，，，此时有个.
和为30的回文数：，，此时有个.
和为36的回文数：，此时有1个.
故共有个.
故答案为：.
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2022高考数学真题分类汇编
八、计数原理
1.（2022·北京卷T）8. 若，则（ ）
A. 40 B. 41 C. D.
2.（2022·浙江卷T12） 已知多项式，则__________，___________．
3.（2022·新高考Ⅰ卷T13） 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
变式训练
一、单选题
1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））2022年第24届冬季奥林匹克运动会，冰上项目共有五种：冰壶、冰球、速度滑冰、短道速滑、花样滑冰．小王是一个冰上项目爱好者，他想前往现场观看，由于赛程的原因，他只能从五项冰上项目中选择其中三项进行观看，则小王恰好选中花样滑冰的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．1485
3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（ ）
A．17 B．29 C．56 D．13
4．（2022·吉林·三模（理））对于的展开式，下列说法不正确的是（ ）
A．有理项共5项 B．二项式系数和为512
C．二项式系数最大的项是第4项和第5项 D．各项系数和为
5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测（理））为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于年首次实施供需对接就业育人项目．某市今年计划安排甲、乙、丙所高校与家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接所高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接家用人单位，乙、丙两所高校分别至少对接家用人单位，则不同的对接方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）的展开式中的系数为（ ）
A．80 B．24 C． D．
8．（2022·山东聊城·三模）的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·山东师范大学附中模拟预测），若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．二项式系数的和为 D．
10．（2022·山东师范大学附中模拟预测）感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（ ）
A．不同的安排方法数为
B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法
C．小晗被安排到甲学校的概率为
D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为
11．（2022·重庆南开中学模拟预测）信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列
B．如果是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列
C．如果是合法括号序列，则A也是合法括号序列
D．长度为8的合法括号序列共有14种
12．（2021·辽宁·模拟预测）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
三、填空题
13．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中的常数项是___________．
14．（2022·吉林·三模（理））为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．
15．（2022·天津·耀华中学二模）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为___________.（用数字作答）
16．（2022·山东泰安·模拟预测）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.
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