北京版九年级数学下册 对称性质在折叠问题中的应用 教学设计

《对称性质在折叠问题中的应用》教学设计
教学目标
知识与技能：
1.掌握折叠问题的方法；
2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。
过程与方法：
1、 通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；
2、 通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；
3、 体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：
提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。
教学重难点
熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。
模型1：将矩形ABCD沿CF折叠，使E落在AB上
折叠图形 图形分析及所得结论
BCF≌△ECF；△BCF、△ECF、△AFE、△EDC为直角三角形(可利用对应边，对应角相等转移条件，表示线段长，利用勾股定理列方程计算)；△AEF∽△DCE(一线三等角“K”字模型，可利用相似来计算)
图形演变：
课堂练习：
1. 如图，折叠长方形的边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝4 cm，BC＝5 cm，则EF的长为______ cm.
2. 如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC＝ ，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′.
(1)如图①，当B′C′恰好经过点D时，求线段CE的长；
(2)如图②，若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，
且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面积．
模型2：将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C的对应点记为C′,C′B交AD于点E
折叠图形 图形分析及所得结论
①△BC′D≌△BCD,△BAE≌△DC′E ；②AD∥BC，∠EBD ＝ ∠CBD ∠EBD＝∠ADB BE＝DE △BED为等腰三角形(由“平行线＋折叠角相等”可以找到等腰三角形)；③△AEB为直角三角形，利用全等三角形或等腰三角形的性质常将线段尽可能转化在Rt△AEB中，利用勾股定理求解
课堂练习：
3. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线DB折叠，DE交AB于点F，连接AE，若∠DBC＝58°，则∠AEF＝________．
模型3：将矩形ABCD沿EF折叠，使点E、F分别为AD、BC上的点
折叠图形 图形分析及所得结论
BF＝B′F，∠BFE＝∠B′FE；角平分线遇平行线时出现等腰三角形 B′E＝B′F，△B′EF为等腰三角形；对称点的连线被对称轴垂直平分 折痕EF垂直平分BB′，可知四边形EB′FB为菱形；△A′B′E是直角三角形，利用等腰三角形、垂直平分线的性质将线段转化在Rt△A′B′E中，利用勾股定理求解
图形演变
课堂练习：
4. 在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，
现将纸片折叠压平，使点C与点A重合，设折痕
为EF，则重叠部分△AEF的面积等于_____ cm2.
5. (2018年广西北部湾经济区)如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为(　　)
课堂小结：
一、图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点： 1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形； 4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来（勾股定理，相似三角形），并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。
二：折叠问题数学思想：
(1)思考问题的逆向(反方向)；
(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路； (3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；
(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；
(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。
布置作业：
同步学习：P62第14题，第15题。