21.2.3因式分解法 学案
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21.2.3因式分解法 学案
课题 21.2.3因式分解法 单元 第21单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.能用因式分解法解一些一元二次方程；2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
重点 能用因式分解法解一些一元二次方程.
难点 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
教学过程
导入新课 【引入思考】 思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：_____________根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？试一试：用配方法或公式法解这个方程。对比两种解法，看看能否找到更为简单的办法 让我们先来回顾一下因式分解知识：x2-6x； 16y2-9； 4x2+4x+1先因式分解使方程化为两个____次式的乘积等于___的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现_____.这种解法叫做因式分解法.试一试：求下列方程的根 ：x ( http: / / www.21cnjy.com )(x-5)=0；(x-1)(x+1)=0；(x+1)2=0；
新知讲解 提炼概念使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．典例精讲 例1、 解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0; 用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的区别：方法特点配方法等号右边为0；二次项系数为1；先配方，再降次；适合所有方程。公式法将方程化为一般形式；利用根的判别式判断根的情况；利用求根公式求解；适合所有方程。因式分解法方程右边为0；左边变为因式相乘的形式；只适用于某些方程。
课堂练习 巩固训练 1．方程x2－3x＝0的解为( )A．x＝0 B．x＝3C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝32．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－23.填空① 6x2-5x+2=0 ； ② 4x2-2=0 ； ③ -5t2+t=0 ； ④ x2-6x=8 ； ⑤ 3x2+2x=0； ⑥ 2(m+3)2=8； ⑦ 4y2-y-2=0； ⑧ 3x2+6x-1=0； ⑨ (x-3)2=3(x-3). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 4.用适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0；(3)x2＋8x＋15＝0.5.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18.解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①由x-5=3, 得x=8; ②由x+2=6, 得x=4; ③所以原方程的解为x1=8或x2=4. 答案引入思考方程 10x－4.9x2＝0的右边为0，左边可以因式分解，得x(10－4.9x)＝0 ——因式分解，化为乘积形式x=0 或 10－4.9x＝0 —— 若a b=0，则a=0或b=0x1=0 ， x2＝答：物体在0 s时被抛出，经过s时落回地面.思考：解方程 10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解。提炼概念 归纳：分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.化方程为一般形式;2. 将方程左边因式分解;3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式； 因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．典例精讲 例3 解：(1) 因式分解，得 (x-2)(x+1)=0x-2=0 或 x+1=0x1=2， x2= -1移项、合并同类项，得4x2-1=0因式分解，得(2x+1)(2x-1)=02x+1=0 或 2x-1=0x1= -0.5， x2= 0.5巩固训练1.D2.D3.②⑥； ③⑤⑨；① ⑦ ⑧；④ 4.解：(1)(x－3)2－25＝0.移项，得(x－3)2＝25.开平方，得x－3＝±5，即x－3＝5或x－3＝－5，解得x1＝8，x2＝－2.(2)(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－1.(3)移项，得x2＋8x＝－15.配方，得x2＋8x＋16＝1，即(x＋4)2＝1.开平方，得x＋4＝±1，即x＋4＝1或x＋4＝－1，解得x1＝－3，x2＝－5.5.解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4.
课堂小结 小
小结：解一元二次方程的方法的选择技巧若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法.因式分解法解一元二次方程的步骤是:1、将方程左边因式分解，右边等于0.2、根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.3、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
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课题 21.2.3因式分解法 单元 第21单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习目标 1.能用因式分解法解一些一元二次方程；2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
重点 能用因式分解法解一些一元二次方程.
难点 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
教学过程
导入新课 【引入思考】 思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度 竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：_____________根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？试一试：用配方法或公式法解这个方程。对比两种解法，看看能否找到更为简单的办法 让我们先来回顾一下因式分解知识：x2-6x； 16y2-9； 4x2+4x+1先因式分解使方程化为两个____次式的乘积等于___的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现_____.这种解法叫做因式分解法.试一试：求下列方程的根 ：x ( http: / / www.21cnjy.com )(x-5)=0；(x-1)(x+1)=0；(x+1)2=0；
新知讲解 提炼概念使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．典例精讲 例1、 解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0; 用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的区别：方法特点配方法等号右边为0；二次项系数为1；先配方，再降次；适合所有方程。公式法将方程化为一般形式；利用根的判别式判断根的情况；利用求根公式求解；适合所有方程。因式分解法方程右边为0；左边变为因式相乘的形式；只适用于某些方程。
课堂练习 巩固训练 1．方程x2－3x＝0的解为( )A．x＝0 B．x＝3C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝32．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－23.填空① 6x2-5x+2=0 ； ② 4x2-2=0 ； ③ -5t2+t=0 ； ④ x2-6x=8 ； ⑤ 3x2+2x=0； ⑥ 2(m+3)2=8； ⑦ 4y2-y-2=0； ⑧ 3x2+6x-1=0； ⑨ (x-3)2=3(x-3). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 4.用适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0；(3)x2＋8x＋15＝0.5.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18.解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①由x-5=3, 得x=8; ②由x+2=6, 得x=4; ③所以原方程的解为x1=8或x2=4. 答案引入思考方程 10x－4.9x2＝0的右边为0，左边可以因式分解，得x(10－4.9x)＝0 ——因式分解，化为乘积形式x=0 或 10－4.9x＝0 —— 若a b=0，则a=0或b=0x1=0 ， x2＝答：物体在0 s时被抛出，经过s时落回地面.思考：解方程 10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解。提炼概念 归纳：分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.化方程为一般形式;2. 将方程左边因式分解;3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.想一想：公式法、配方法和因式分解法有什么异同？配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式； 因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．典例精讲 例3 解：(1) 因式分解，得 (x-2)(x+1)=0x-2=0 或 x+1=0x1=2， x2= -1移项、合并同类项，得4x2-1=0因式分解，得(2x+1)(2x-1)=02x+1=0 或 2x-1=0x1= -0.5， x2= 0.5巩固训练1.D2.D3.②⑥； ③⑤⑨；① ⑦ ⑧；④ 4.解：(1)(x－3)2－25＝0.移项，得(x－3)2＝25.开平方，得x－3＝±5，即x－3＝5或x－3＝－5，解得x1＝8，x2＝－2.(2)(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－1.(3)移项，得x2＋8x＝－15.配方，得x2＋8x＋16＝1，即(x＋4)2＝1.开平方，得x＋4＝±1，即x＋4＝1或x＋4＝－1，解得x1＝－3，x2＝－5.5.解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4.
课堂小结 小
小结：解一元二次方程的方法的选择技巧若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法.因式分解法解一元二次方程的步骤是:1、将方程左边因式分解，右边等于0.2、根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.3、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
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