辽宁省重点高中沈阳市郊联体2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省重点高中沈阳市郊联体2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 231.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-14 06:09:12 | ||
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文档简介
辽宁省重点高中沈阳市郊联体
2021—2022学年度下学期期中考试高二年级试题
数学
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．数列中，，，则（ ）
A．16 B．8 C．12 D．24
2．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
3．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．数列满足，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．函数在处有极大值，则的值等于（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
6．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．2021 B． C． D．2020
8．定义域为R的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分．）
9．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
10．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．3
11．数列的前n项和为，，则有（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．的前n项和为
12．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示．下列关于函数的结论正确的有（ ）
x 0 2 4 5
1 2 0 2 1
A．函数的极小值点有3个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4
D．当时，函数有4个零点
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分．）
13．已知函数在处可导，若，则______．
14．若，，则数列的通项公式是______．
15．已知数列，，，且，，则数列的前100项的和为______．
16．已知P为直线上的动点，Q为函数图象上的动点，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡相应位置上．）
17．（本题10分）已知数列，满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
18．（本题12分）设函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求函数在上的最值．
19．（本题12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前n项和．
20．（本题12分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若方程有两个根，求a的取值范围．
21．（本题12分）某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）求和的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
22．（本题12分）已知函数．
（1）若恒成立，求实数k的取值范围；
（2）证明：．
2021-2022学年度下学期沈阳市重点高中联合体期中考试高二试题
数学答案
一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C
二．多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分）
9．ABD 10．AB 11．ACD 12．BD
三．填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分）
13．2 14． 15．150 16．
四．解答题（方法不唯一，可酌情给分）
17（本小题满分10分）
（1）证明： ∵，， ∴，
∴，
即是首项为，公差为的等差数列． ………………5分
（2）由上述可知，
∴.（猜出通项公式，并用数学归纳法证明，可以给分） ………………10分
18（本小题满分12分）
(1)，
令，则或， ………………2分
列表如下：（表格、文字 均给分）
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
∴的增区间为（－∞，－3），（1，＋∞）；减区间为（－3，1）； ………………6分
在处取得极大值，为9；在处取得极小值，为－． ………………8分
（2）由上知在[0，3]上的极小值为，
又，
所以在[0，3]上的最大值为9，最小值为－． ………………12分
19（本小题满分12分）
（1）设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)
∴. ………………4分
（2），
∴，
将它们累加得：
因为 ，所以 ,
又有 也成立 ，
所以 （没验证n=1扣1分） ………………8分
所以 - ………………10分
所以
. （两种形式，均给分） ………………12分
20（本小题满分12分）
（1）当时，函数定义域为，求导得：，
则，而，则有，即，
所以所求切线方程为：． ………………4分
（2）函数定义域为，求导得：，
而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，
令，，则，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
， ………………8分
因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，
观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，
所以的取值范围是． ………………12分
21（本小题满分12分）
由题意知，
， ………………2分
（2）证明：由题意知． ………………4分
即，所以．
所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列． ………………7分
（3）由（1）知数列的首项为，公比为．
所以，所以． ………………9分
当，得．
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以．（没取整数，扣一分）
即至少经过年，该项目的资金达到翻一番． ………………12分
22（本小题满分12分）
（1）由题意得：定义域为；由得：；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，
即实数的取值范围为.（含参讨论,只要正确，均给分） ………………4分
（2）由（1）知：当，时，，
在上单调递减，
，即； ………………6分
， ………………8分
，
即，
. ………………12分
（数学归纳法证明的，酌情给分）
2021—2022学年度下学期期中考试高二年级试题
数学
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．数列中，，，则（ ）
A．16 B．8 C．12 D．24
2．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
3．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．数列满足，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．函数在处有极大值，则的值等于（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
6．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．2021 B． C． D．2020
8．定义域为R的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分．）
9．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
10．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．3
11．数列的前n项和为，，则有（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．的前n项和为
12．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示．下列关于函数的结论正确的有（ ）
x 0 2 4 5
1 2 0 2 1
A．函数的极小值点有3个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4
D．当时，函数有4个零点
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分．）
13．已知函数在处可导，若，则______．
14．若，，则数列的通项公式是______．
15．已知数列，，，且，，则数列的前100项的和为______．
16．已知P为直线上的动点，Q为函数图象上的动点，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6个小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卡相应位置上．）
17．（本题10分）已知数列，满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
18．（本题12分）设函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求函数在上的最值．
19．（本题12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前n项和．
20．（本题12分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若方程有两个根，求a的取值范围．
21．（本题12分）某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）求和的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
22．（本题12分）已知函数．
（1）若恒成立，求实数k的取值范围；
（2）证明：．
2021-2022学年度下学期沈阳市重点高中联合体期中考试高二试题
数学答案
一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C
二．多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选或者多选不得分）
9．ABD 10．AB 11．ACD 12．BD
三．填空题（本大题共4个小题，每题5分，共计20分）
13．2 14． 15．150 16．
四．解答题（方法不唯一，可酌情给分）
17（本小题满分10分）
（1）证明： ∵，， ∴，
∴，
即是首项为，公差为的等差数列． ………………5分
（2）由上述可知，
∴.（猜出通项公式，并用数学归纳法证明，可以给分） ………………10分
18（本小题满分12分）
(1)，
令，则或， ………………2分
列表如下：（表格、文字 均给分）
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
∴的增区间为（－∞，－3），（1，＋∞）；减区间为（－3，1）； ………………6分
在处取得极大值，为9；在处取得极小值，为－． ………………8分
（2）由上知在[0，3]上的极小值为，
又，
所以在[0，3]上的最大值为9，最小值为－． ………………12分
19（本小题满分12分）
（1）设数列的公差为，由，有：，解得或(舍去)
∴. ………………4分
（2），
∴，
将它们累加得：
因为 ，所以 ,
又有 也成立 ，
所以 （没验证n=1扣1分） ………………8分
所以 - ………………10分
所以
. （两种形式，均给分） ………………12分
20（本小题满分12分）
（1）当时，函数定义域为，求导得：，
则，而，则有，即，
所以所求切线方程为：． ………………4分
（2）函数定义域为，求导得：，
而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点，
令，，则，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
， ………………8分
因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，
观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，，
所以的取值范围是． ………………12分
21（本小题满分12分）
由题意知，
， ………………2分
（2）证明：由题意知． ………………4分
即，所以．
所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列． ………………7分
（3）由（1）知数列的首项为，公比为．
所以，所以． ………………9分
当，得．
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以．（没取整数，扣一分）
即至少经过年，该项目的资金达到翻一番． ………………12分
22（本小题满分12分）
（1）由题意得：定义域为；由得：；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，
即实数的取值范围为.（含参讨论,只要正确，均给分） ………………4分
（2）由（1）知：当，时，，
在上单调递减，
，即； ………………6分
， ………………8分
，
即，
. ………………12分
（数学归纳法证明的，酌情给分）
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