2021-2022学年北师大版八年级数学下册 第6章平行四边形 期末综合练习题（word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》期末综合练习题（附答案）
一．选择题
1．下列命题中，真命题的个数为（　　）
①平行四边形的对角线相等；②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③连接一个任意四边形四边的中点所构成的四边形一定是平行四边形；
④十边形内角和为1800°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
3．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（　　）
A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5
4．如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若AB＝4，BC＝7，OE＝3，则四边形EFDC的周长是（　　）
A．14 B．11 C．17 D．10
5．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B＝60°，EF＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝2，AC＝4，BD＝8，则点D到BC的距离为（　　）
A． B．3 C． D．
7．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△BEF＝S△ABE．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（　　）
①∠DCF＝∠BCD
②S△BEC＝2S△CEF：
③∠DFE＝3∠AEF；
④当∠AEF＝54°时，则∠B＝68°
A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④
二．填空题
10．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形的面积为　 　．
11．如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是　 　．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝4，将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点E处，那么S△AED＝　 　
13．如图， ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交AB于点E，已知△BCE的周长为14，则 ABCD的周长为　 　．
14．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为 　 　．
15．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 　．
三．解答题
16．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边的对应边B′C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形中，求：
（1）AD的长度．
（2）重叠部分的面积．
17．如图，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，则△BCF的面积为　 　；△BCF的周长为　 　；
（2）求证：BC＝AG+EG．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
19．已知：直线y＝x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求出OC的长；
（2）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t（t＞0）秒，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
参考答案
一．选择题
1．解：①平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
③连接一个任意四边形四边的中点所构成的四边形一定是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
④十边形内角和为1440°，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
真命题有2个，
故选：B．
2．解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8＝45°．
故选：A．
3．解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，AB＝CD＝4，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，OE＝OF＝3，
∴CE+DF＝CE+BE＝BC＝7，
∴四边形EFDC的周长＝DF+EF+CE+CD＝BC+OE+OF+CD＝7+3+3+4＝17，
故选：C．
5．解：如图作AM⊥EF于M，AN⊥EG于N，连接AE．
∵△EFG是等边三角形，AF＝AG，
∴∠AEF＝∠AEN，
∵AM⊥EF，AN⊥EG，
∴AM＝AN，
∵∠MEN＝60°，∠EMA＝∠ENA＝90°，
∴∠MAN＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠MAN＝∠DAB，
∴∠MAH＝∠NAL，
∴△AMH≌△ANL，
∴S阴＝S四边形AMEN，
∵EF＝2，AF＝1，
∴AE＝，AM＝，EM＝，
∴S四边形AMEN＝2× ×＝，
∴S阴＝S四边形AMEN＝．
故选：A．
6．解：∵AC＝4，BD＝8，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，
∵AB＝2，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴2×4＝2AE，
∴AE＝，
即点D到BC的距离为，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE＝∠EAD＝60°，
∵AB＝AE，BC＝AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD＝S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC＝S△DEC，
∴S△ABE＝S△CEF．
若AD与BF相等，则BF＝BC，
题中未限定这一条件，
若S△BEF＝S△ACD；则S△BEF＝S△ABC，
则AB＝BF，
∴BF＝BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确．
若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC，
即EC＝CD＝BE
即BC＝2CD，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故选：B．
8．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选：B．
9．解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故此选项正确；
②∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误；
③设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确
④延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵∠AEF＝54°，
∴∠CEF＝36°＝∠ECF，∴∠DCF＝54°．∴∠BCD＝2∠DCF＝108°，
∴∠B＝72°，故错误，
故选：A．
二．填空题
10．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝4×2＝4．
故答案为：4．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP+PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP＝＝6，
∴△APB的周长＝6+8+10＝24；
故答案为：24．
12．解：如图连接EO．
∵∠AOB＝∠EOA＝60°，
∴∠EOD＝60°，
∵OB＝OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠EDO＝∠AOB＝60°，
∴DE∥AC，
∴S△ADE＝S△EOD＝×22＝．
故答案为
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O点为AC中点．
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE．
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝14．
∴平行四边形ABCD周长为2×14＝28．
故答案为28．
14．解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，
∴AB+AC＝26﹣10＝16，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
∴在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ，
∴AQ＝EQ，AB＝BE，
同理，AP＝DP，AC＝CD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，
∵AQ＝DP，AP＝DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ＝DE＝3．
故答案是：3．
15．解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
三．解答题
16．解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠D＝60°，
根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6cm，AB＝CD，
∴∠EAC＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝2CD＝6cm；
（2）∵CD＝3cm，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，
∴AC＝3cm，
∴S△ACE＝×AC×CD＝cm2．
17．（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，
∴AB＝EF＝5，
∴AE＝BF＝2，
∴AF＝AC＝3，
∵AB∥CD，AC⊥CD
∴AB⊥AC，
∴CF＝＝3，
BC＝＝＝，
∴△BCF的面积＝BF AC＝×2×3＝3，
△BCF的周长＝BF+BC+CF＝2+3+；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．
∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB＝CD＝EF，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠GAM＝90°，
∴∠FAG＝∠CAM，
∵AF＝AC，AG＝AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），
∴∠ACM＝∠AFG＝45°，FG＝CM．
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠EFG，
∵EF＝CD，FG＝CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG＝DM，
∴AG+EG＝AM+DM＝AD＝BC．
即BC＝AG+EG．
故答案为：3；．
18．（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，
所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；
②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG＝BC＝3，
所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，CG＝＝＝，
所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；
③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．
19．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
∵A（﹣8，0）．B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10，
由翻折不变性可知，OC＝CD，OB＝BD＝6，∠ODB＝∠BOC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，设CD＝OC＝x，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴OC＝3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2x+6，
设点F（m，2m+6）、E（n，2n+6），
过点A作y轴的平行线交过点F与x轴的平行线于点M，交过点E与x轴的平行线于点N，
∵△AEF为等腰直角三角形，故AE＝AF，
∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠MFA＝90°，
∴∠NAE＝∠MFA，
∵∠FMA＝∠ANE＝90°，AE＝AF，
∴△FMA≌△ANE（AAS），
∴NE＝AM，MF＝AN，
即﹣2m﹣6＝n+8，2n+6＝8+m，
解得：m＝﹣2，n＝﹣6，
故点F的坐标为（﹣2，2）、点E（﹣6，﹣6）；
由于E、F的位置可能互换，故点E的坐标为（﹣2，2）、点F（﹣6，﹣6）；
综上，点F的坐标为（﹣2，2）或E（﹣6，﹣6）；
（3）点M是AB的中点，则点M（﹣4，3），而点A（﹣8，0），
设点P（0，n），点Q（m，m+6），
①当MC是边时，
点M向右平移1个单位向下平移3个单位得到点C，同样点P（Q）右平移1个单位向下平移3个单位得到点Q（P），
故0+1＝m且n﹣3＝m+6或0﹣1＝m且n+3＝m+6，
解得：m＝1或﹣1，
故点Q的坐标为Q（﹣1，）或（1，）；
②当MC是对角线时，
由中点公式得：﹣4﹣3＝m且3＝n+m+6，
解得：m＝﹣7，故点Q的坐标为（﹣7，）；
综上，点Q的坐标为：（﹣1，）或（1，）或（﹣7，）．
20．（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF，
∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）∵四边形AEFD是平行四边形，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE．
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝，
∴当t为时，△DEF是等边三角形．
（3）∵四边形AEFD是平行四边形，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为或4时，△DEF为直角三角形．
21．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠BAC＝180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2α，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC＝∠ABC＝α，
由（1）知，∠ADE＝90°﹣α，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠C＝∠B＝α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF．
∴∠EAC＝∠C＝α，
由（1）知，∠DAE＝2α，
∴∠DAC＝α，
∴∠DAC＝∠C．
∴AD＝CD．
∵AD＝AE＝BF，
∴BF＝CD．
∴BD＝CF．