第2讲 绝对值与有理数加减运算
一、绝对值
知识引入
周末的一天，帅气的周老师要一个人出去玩，如图，周老师决定去一个离他近的地方，那
么你知道周老师会去哪儿？为什么？
知识导航
绝对值
绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值（absolute value）.
数a的绝对值记作 ．
绝对值的双解性： ，则a=2或 .
绝对值的非负性： ≥0.
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．
注意：
①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
②取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，计算一个数的绝对值，就是根据绝对值的代数意义去掉绝
对值符号．
经典例题
例题1
1 写出下列各数的绝对值：
原数 绝对值
答案 原数 绝对值
解析 取数字部分即可．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：求一个数的绝对值
2 绝对值大于 而不大于 的整数有 ，它们的和是 ．
答案
1． ， ， ，
2．
解析 绝对值大于 而不大于 就是数轴上到原点距离大于 ，小于等于 ，又因为是整数，所以只能
是 、 、 、 ，和为 ．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的双值性
3 已知 ， ，且 ，求 和 的值．
答案 解： ， 或 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的双值性
4 已知有理数 ， ，并且 ，把 ， ， ， 按由小到大的顺序排列正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵ ， ，并且 ，
∴ ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数比较大小
例题2
1 已知 ，则 ．
答案
解析 略．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的非负性
2 如果有理数 与 互为相反数，求 的值．
答案 ．
解析 ∵ + =0，
∴ ， ，
∴ =8．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的非负性
3 已知 ，求 的相反数的值．
答案 ．
解析 ∵ ，
∴ ．
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
此时
∴ 的相反数的值是 ．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值综合
二、有理数的加法运算
知识引入
从前有一个初中生夏目，在路边遇到了一只流浪猫，出于好心收留了他，一人一猫开
始了他们的生活，夏目把自己更多的零花钱都给了猫咪去买吃的，随着时间一天天过去，
他们之前的感情也变得深厚，但因为一些原因主人不得不把猫咪送走，主人把猫咪往南送
了2公里，自己又向北走了5公里。（向南记作—，向北记作+）
问主人离原来的地方几公里？猫咪应该向北走几公里能追上主人？
知识导航
定 义 示例剖析
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相
加.
‘同号相加，符号不变，绝对值相加’；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的
加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
‘异号相加，绝大定号，大绝减小绝’
③互为相反数的两个数相加得0.
④一个数同0相加，仍得这个数.
有理数加法的运算步骤：
①确定和的符号；（定号）
②求和的绝对值，即同号求绝对值和，异号求绝对值差．（算值）
有理数加法的运算律：
①交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不
(加法交换律)
变．
②结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者
(加法结合律)
先把后两个数相加，和不变．
经典例题
例题3
1 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加法的计算题
2 计算下列各题：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加法的计算题
例题4
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 原式 ．
(2) 原式
．
(3) 原式 ．
(4) 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数的运算 >有理数加法的运算
三、有理数的减法运算
知识导航
定 义 示例剖析
有理数减法法则：
(减法法则)
减去一个数，等于加这个数的相反数．
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号
②把减数变为它的相反数
它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤
进行运算．
有理数加减混合运算的步骤：
①算式中的减法转化为加法；
②将所有正数相加得到一个正数，将所有负数相加得到一个负数，所有“0”都可以忽略；
③转化为一个正数一个负数相加．
注：可利用运算律及技巧简便计算，求出结果．
有理数加减法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式.（分小统一）
②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.（带分拆开）
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.（相反先行）
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.（凑整优先）
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥符号相同的数可以先结合在一起.（正负各边）
经典例题
例题5
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
(5) 略．
(6) 略．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数减法的计算题
例题6
计算下列各式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 原式
．
(4) 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
四、有理数加减运算的应用
经典例题
例题7
1 已知 是最小的正整数， 是最大的负整数， 没有倒数， 的绝对值是 ，那么
．
答案 或
解析 根据题意得: ，b=-1，c=0， 或 ，
当 时，原式 ;当 时，原式 ，
故答案为: 或
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
2 出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“ ”，向北记作“ ”.
他这天下午行车情况如下:(单位:千米:每次行车都有乘客)
， ， ， ， ， ， ， 请回答:
(1) 小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的
出发地多远？
(2) 若规定每趟车的起步价是 元，且每趟车 千米以内(含 千米)只收起步价；若超过 千米，
除收起步价外，超过的每千米还需收 元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少
元？
(3) 若小王的出租车每千米耗油 升，每升汽油 元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是
盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？
答案 (1) 小王在下午出车的出发地的正南方向，距下午出车的出发地 千米
(2) 小王这天下午收到乘客所给车费共 元；
(3) 小王这天下午盈利，盈利 元.
解析 (1) （千米）.
(2)
（元）.
所以小王这天下午收到乘客所给车费共 元；
(3)
（元），
（元）.
所以小王这天下午盈利，盈利 元.
标注 数 >有理数 >有理数与实际问题
课后作业
习题1
1 的相反数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 略
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：求一个数的相反数
2 的绝对值的倒数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 的绝对值是 ， 的倒数是 ．
故选 ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：求倒数
3 下列各式中，等号不成立的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 ，
选项 中的等号成立；
，
，
选项 中的等号成立；
，
，
选项 中的等号成立；
，
选项 中的等号不成立．
故选： ．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的非负性
4 已知有理数 ， 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由数轴可知 ， ，
所以 、 ， 错误；
∵ 离原点的距离小于 离原点的距离，
∴ ， 正确．
故选 ．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的非负性
习题2
倒数是它本身的数是 ，相反数是它本身的数是 ，绝对值是它本身的数是 ．
答案 1．
2．
3．非负数
解析 ， ，
∴ ．
，
∴ ．
，
∴ ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数的分类
习题3
1 已知 ， ，则 的值为 ．
答案 或
解析 ∵ ， ； ， ；
∴（ ）
（ ）
（ ）
（ ） ；
综上： ，或 ．
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的双值性
2 已知 ，求 、 的值．
答案 或 ．
解析 略
标注 数 >有理数 >绝对值 >题型：绝对值的非负性
习题4
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
习题5
1 计算： ．
答案 ．
解析
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
2 计算： ．
答案 ．
解析
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
3 计算:
．
答案 ．
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
4 计算： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
习题6
小虫从某点 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负
数，爬行的各段路程依次记为(单位： )： ．
(1) 求：小虫最后是否回到出发点 ？
(2) 小虫离开出发点$$$$最远是多少厘米？
(3) 在爬行过程中，如果每爬行 厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
答案 (1) 小虫最后回到出发点
(2)
(3)
解析 (1)
．
答：小虫最后回到出发点 ．
(2) （厘米）．
答：小虫离开 点最远 厘米．
(3)
（厘米），
（粒）．
答：小虫一共得到 粒芝麻．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数加减混合运算的计算题
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
完美过程，让我们的思维更加严谨
说说心里话
欲事之无繁,则必劳于始而逸于终.——（宋）苏轼《决壅蔽》
第二天，go on~
你的姓名：_______________________________________________________________
第二节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第2讲 绝对值与有理数加减运算
一、绝对值
知识引入
周末的一天，帅气的周老师要一个人出去玩，如图，周老师决定去一个离他近的地方，那
么你知道周老师会去哪儿？为什么？
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绝对值
绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值（absolute value）.
数a的绝对值记作 ．
绝对值的双解性： ，则a=2或 .
绝对值的非负性： ≥0.
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．
注意：
①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
②取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，计算一个数的绝对值，就是根据绝对值的代数意义去掉绝
对值符号．
经典例题
例题1
1 写出下列各数的绝对值：
原数 绝对值
2 绝对值大于 而不大于 的整数有 ，它们的和是 ．
3 已知 ， ，且 ，求 和 的值．
4 已知有理数 ， ，并且 ，把 ， ， ， 按由小到大的顺序排列正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
例题2
1 已知 ，则 ．
2 如果有理数 与 互为相反数，求 的值．
3 已知 ，求 的相反数的值．
二、有理数的加法运算
知识引入
从前有一个初中生夏目，在路边遇到了一只流浪猫，出于好心收留了他，一人一猫开
始了他们的生活，夏目把自己更多的零花钱都给了猫咪去买吃的，随着时间一天天过去，
他们之前的感情也变得深厚，但因为一些原因主人不得不把猫咪送走，主人把猫咪往南送
了2公里，自己又向北走了5公里。（向南记作—，向北记作+）
问主人离原来的地方几公里？猫咪应该向北走几公里能追上主人？
知识导航
定 义 示例剖析
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相
加.
‘同号相加，符号不变，绝对值相加’；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的
加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
‘异号相加，绝大定号，大绝减小绝’
③互为相反数的两个数相加得0.
④一个数同0相加，仍得这个数.
有理数加法的运算步骤：
①确定和的符号；（定号）
②求和的绝对值，即同号求绝对值和，异号求绝对值差．（算值）
有理数加法的运算律：
①交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不
(加法交换律)
变．
②结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者
(加法结合律)
先把后两个数相加，和不变．
经典例题
例题3
1 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
2 计算下列各题：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
例题4
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
三、有理数的减法运算
知识导航
定 义 示例剖析
有理数减法法则：
(减法法则)
减去一个数，等于加这个数的相反数．
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号
②把减数变为它的相反数
它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤
进行运算．
有理数加减混合运算的步骤：
①算式中的减法转化为加法；
②将所有正数相加得到一个正数，将所有负数相加得到一个负数，所有“0”都可以忽略；
③转化为一个正数一个负数相加．
注：可利用运算律及技巧简便计算，求出结果．
有理数加减法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式.（分小统一）
②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.（带分拆开）
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.（相反先行）
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.（凑整优先）
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥符号相同的数可以先结合在一起.（正负各边）
经典例题
例题5
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
例题6
计算下列各式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
四、有理数加减运算的应用
经典例题
例题7
1 已知 是最小的正整数， 是最大的负整数， 没有倒数， 的绝对值是 ，那么
．
2 出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“ ”，向北记作“ ”.
他这天下午行车情况如下:(单位:千米:每次行车都有乘客)
， ， ， ， ， ， ， 请回答:
(1) 小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的
出发地多远？
(2) 若规定每趟车的起步价是 元，且每趟车 千米以内(含 千米)只收起步价；若超过 千米，
除收起步价外，超过的每千米还需收 元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少
元？
(3) 若小王的出租车每千米耗油 升，每升汽油 元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是
盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？
课后作业
习题1
1 的相反数是（ ）．
A. B. C. D.
2 的绝对值的倒数是（ ）．
A. B. C. D.
3 下列各式中，等号不成立的是（ ）．
A. B. C. D.
4 已知有理数 ， 在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
习题2
倒数是它本身的数是 ，相反数是它本身的数是 ，绝对值是它本身的数是 ．
习题3
1 已知 ， ，则 的值为 ．
2 已知 ，求 、 的值．
习题4
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
习题5
1 计算： ．
2 计算： ．
3 计算:
．
4 计算： ．
习题6
小虫从某点 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负
数，爬行的各段路程依次记为(单位： )： ．
(1) 求：小虫最后是否回到出发点 ？
(2) 小虫离开出发点$$$$最远是多少厘米？
(3) 在爬行过程中，如果每爬行 厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
完美过程，让我们的思维更加严谨
说说心里话
欲事之无繁,则必劳于始而逸于终.——（宋）苏轼《决壅蔽》
第二天，go on~
你的姓名：_______________________________________________________________
第二节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】
