第3讲 有理数的乘除与乘方混合运算
一、有理数的乘法
知识引入
每个人心中都有自己的小九九，你知道什么是“小九九”吗？
小九九是小算盘的意思 ，或者可以理解为想法。但小九九真正的由来是：
《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一
得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得
四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到
13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。
中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找
到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的
时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。
知识导航
定 义 示例剖析
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，都得0．
有理数乘法步骤：
①先定号；②再求值
有理数乘法运算律：
(乘法交换律)
①交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
(乘法结合律)
②结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相
(乘法分
等．
配律)
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个 数分别同这两个数相乘，
再把积相加．
有理数乘法法则的推广：
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因
数的个数是奇数时，积为负数.（奇负偶正）
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.（乘零得零）
③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；（带分化假）
④若有小数和分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计
算.（分小统一）
有理数四则运算的运算顺序：
①先乘除，再加减；其中加减法为一级运算，乘除法为二级运算．
②同级运算，按从左到右的顺序进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
经典例题
例题1
1 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
2 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题2
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
二、有理数的除法
知识导航
有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；
( )
有理数除法的运算步骤：
①把除号变为乘号
②把除数变为它的倒数
③把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算．
经典例题
例题3
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题4
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
三、有理数的乘方
知识引入
大巾谓之幂。——《小尔雅·广诂》
古时候幂指的是包头发用的布，也就是头巾，那这个东西跟咱们的乘方有什么关系呢？
知识导航
定 义 示例剖析
乘方的概念：
表示5个3相乘，即：
求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫
；
做底数，n叫做指数， 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”.
表示5个 相乘，即：
个 ；
注意： 表示5个3相乘的相反数，即：
负数及分数的乘方，应把底数加上括号． ；
① 与 有区别， ； 表示5个 相乘，即：
② 与 有区别．
；
表示5个3相乘再除以7，即：
奇负偶正：
正数的任何次幂都是正数； 例如： ，
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． ，
“奇负偶正”口诀：
①当 为奇数时， ； 例如：
②当 为偶数时， .
（ 为偶数）
即：
（ 为奇数）
特别地：
①当 为奇数时， ；
②当 为偶数时， ；
③负数的奇数次幂是负数；
④负数的偶数次幂是正数；
⑤正数的任何次幂都是正数；
⑥1的任何次幂都是1.
经典例题
例题5
1 把下列各式写成乘方运算的形式：
(1) = ．
(2) = ．
(3) = ．
(4) = ．
(5) = ．
个
(6) = ．
个
2 底数 指数 结果正负性 运算过程及结果
正
3 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
(8) ．
(9) ．
例题6
比较 和 ，下列说法正确的是（ ）．
A. 它们底数相同，指数也相同 B. 它们底数相同，但指数不相同
C. 它们所表示的意义相同，但运算结果不相 D. 虽然它们底数不同，但运算结果相同
同
例题7
1 已知 ，则 ．
2 如果 ，则 ．
3 如果 与 互为相反数，那么 ．
课后作业
习题1
1 计算： ．
2 计算： ．
3 计算： ．
4 计算： ．
习题2
1 计算： ．
2 计算： ．
习题3
； ． ； ．
习题4
下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）．
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
习题5
有理数 ， ， ， ， ， 中，化简结果等于 的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
习题6
若 与 互为相反数，则 ．
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
多色笔记，让重难点更突出
说说心里话
A good beginning is half done.
第三天，fighting~
你的姓名：_______________________________________________________________
第三节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第3讲 有理数的乘除与乘方混合运算
一、有理数的乘法
知识引入
每个人心中都有自己的小九九，你知道什么是“小九九”吗？
小九九是小算盘的意思 ，或者可以理解为想法。但小九九真正的由来是：
《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一
得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得
四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到
13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。
中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找
到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的
时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。
知识导航
定 义 示例剖析
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，都得0．
有理数乘法步骤：
①先定号；②再求值
有理数乘法运算律：
(乘法交换律)
①交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
(乘法结合律)
②结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相
(乘法分
等．
配律)
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个 数分别同这两个数相乘，
再把积相加．
有理数乘法法则的推广：
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因
数的个数是奇数时，积为负数.（奇负偶正）
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.（乘零得零）
③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；（带分化假）
④若有小数和分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计
算.（分小统一）
有理数四则运算的运算顺序：
①先乘除，再加减；其中加减法为一级运算，乘除法为二级运算．
②同级运算，按从左到右的顺序进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
经典例题
例题1
1 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
解析 (1)
(2) ．
(3) ．
(4) ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘法的计算题
2 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘法的计算题
例题2
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 略.
(2) 略.
(3) 略.
(4) 略.
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘法的计算题
二、有理数的除法
知识导航
有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； ( )
有理数除法的运算步骤：
①把除号变为乘号
②把除数变为它的倒数
③把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算．
经典例题
例题3
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
标注 数 >有理数
例题4
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 原式 ．
(2) 原式 ．
(3) 原式 ．
(4) 原式 ．
标注 数 >有理数 >有理数的运算 >有理数的混合运算
三、有理数的乘方
知识引入
大巾谓之幂。——《小尔雅·广诂》
古时候幂指的是包头发用的布，也就是头巾，那这个东西跟咱们的乘方有什么关系呢？
知识导航
定 义 示例剖析
表示5个3相乘，即：
乘方的概念：
；
求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫
表示5个 相乘，即：
做底数，n叫做指数， 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”.
；
个 表示5个3相乘的相反数，即：
注意： ；
负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 表示5个 相乘，即：
① 与 有区别， ；
；
② 与 有区别．
表示5个3相乘再除以7，即：
奇负偶正：
正数的任何次幂都是正数； 例如： ，
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． ，
“奇负偶正”口诀：
①当 为奇数时， ； 例如：
②当 为偶数时， .
（ 为偶数）
即：
（ 为奇数）
特别地：
①当 为奇数时， ；
②当 为偶数时， ；
③负数的奇数次幂是负数；
④负数的偶数次幂是正数；
⑤正数的任何次幂都是正数；
⑥1的任何次幂都是1.
经典例题
例题5
1 把下列各式写成乘方运算的形式：
(1) = ．
(2) = ．
(3) = ．
(4) = ．
(5) = ．
个
(6) = ．
个
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
2 底数 指数 结果正负性 运算过程及结果
正
答案 底数 指数 结果正负性 运算过程及结果
正
正
负
正
负
负
解析 略
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
3 计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
(8) ．
(9) ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
(5) 略．
(6) 略．
(7) 略．
(8) 略．
(9) 略．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
例题6
比较 和 ，下列说法正确的是（ ）．
A. 它们底数相同，指数也相同 B. 它们底数相同，但指数不相同
C. 它们所表示的意义相同，但运算结果不相 D. 虽然它们底数不同，但运算结果相同
同
答案 D
解析 略．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
例题7
1 已知 ，则 ．
答案
解析 ， ，
， ， ．
标注 数 >有理数 >绝对值 >绝对值的性质
2 如果 ，则 ．
答案
解析 由非负性可得： ， ，所以 ， ；
故原式 ．
标注 数 >实数 >非负性的应用
3 如果 与 互为相反数，那么 ．
答案
解析 方法一：因为 与 互为相反数，
所以 ，
所以 ， ； ， ；
因此 ．
方法二：由 与 互为相反数，
得 ，
又 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
故 ．
标注 式 >整式的乘除 >幂的运算 >题型：幂的乘方运用
课后作业
习题1
1 计算： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘除混合运算的计算题
2 计算： ．
答案 ．
解析 原式 ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘除混合运算的计算题
3 计算： ．
答案 ．
解析
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘除混合运算的计算题
4 计算： ．
答案 ．
解析 原式 ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘除混合运算的计算题
习题2
1 计算： ．
答案 ．
解析 原式 ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘法的计算题
2 计算： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数除法的计算题
习题3
； ． ； ．
答案 1．
2．
3．
4．
解析 ， ， ， ．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
习题4
下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）．
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
答案 B
解析 A选项： ， ，故本选项错误．
B选项： ， ，故本选项正确．
C选项： ， ，故本选项错误．
D选项： ， ，故本选项错误．
故选B.
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
习题5
有理数 ， ， ， ， ， 中，化简结果等于 的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 B
解析 ， ， ， ， ， ，
∴化简结果等于 的个数是 个．
标注 数 >有理数 >有理数基础运算 >题型：有理数乘方的计算题
习题6
若 与 互为相反数，则 ．
答案
解析 由非负性可得： ， ，所以 ， ；
故原式= ．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：相反数的性质
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
多色笔记，让重难点更突出
说说心里话
A good beginning is half done.
第三天，fighting~
你的姓名：_______________________________________________________________
第三节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】
