第5讲 整式的认识
一、代数式
知识引入
教师节表白——胜券在握？OR 忐忑不安？
“首先，先在心里想一个数字，加1，再乘以2，再加4，再除以2，最后减掉一开始心里想的那个数字，
再加上517，就是我想对您说的话！”小明羞涩的对学而思数学老师说.
老师非常配合地，默默的在纸上写下了——
6+1=7,7×2=14，14+4=18,18÷2=9,9-6=3,3+517=520！
“老师，我爱你”，说完小明就一溜烟的跑走了.
聪明的同学们，你们知道这次表白有风险吗？
以前我们接触的数学可能大多都是2×3，-5+2，7 +23这样纯数字的，可是有时候我们需要表示一种规
律，比如长方形的面积=长×宽，圆的周长=2π×周长等，再比如刚才的表白，于是用字母代表数就出现在
我们传统的数学中.如果长方形的长用a来表示，宽用b来表示，那么长方形的面积=ab；r表示圆的半径，
那么圆的周长=2πr.如果用x表示老师心里想的数字，就可以列出下面的式子：
，
这样的式子我们就称为代数式.
知识导航
代数式的定义：
代数式的书写格式
像 ， ， ， 这样，用运算符
①数前母后：
号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式
②带分数系数化假分数：
（algebraic expression）.
③数字乘以字母，字母乘以字母时乘号省
注意点：
略：
①单独的一个数或字母也是代数式；
④除号变分数线：
② 是一个数，也是一个代数式；
⑤单位带括号： 元
③可以含有绝对值符号 （ ）；
⑥系数1和-1省略： ,
④代数式中不能出现=，<，>，≈，≠，≥，≤等关系
⑦相同字母写成幂的形式：
符号
经典例题
例题1
用代数式表示：
(1) 比 多 的数： ．
(2) 与 的差的相反数： ．
(3) 与 的和的倒数： ．
(4) 与 的平方和： ．
(5) 被 除，商 余 的数： ．
(6) 与 的和是 的数： ．
例题2
某移动通迅公司开设了两种通迅业务，“全球通”：使用时首先交 元月租费，然后每通话 分钟，
自付话费 元，“动感地带”：不交月租费，每通话 分钟，付话费 元，（本题的通话费均指市
内通话），若一个月通话 分钟，两种方式的费用分别表示 元和 元．
(1) 用含 的代数式分别表示 和 ，则 ， ．
(2) 某人估计一个月内通话 分钟，应选择哪种移动通迅合算些．
二、单项式
知识导航
定 义 示例剖析
单项式的定义：
像 ， ， ， ， 等都是数
与字母的积，像这样的代数式叫做单项式．
例如： ， 是单项式；
注意点：
①单独一个数或一个字母也是单项式；
、 、 不是单项式
②分母中不含字母；
③不存在数与字母、字母与字母的加减．
单项式的系数：
叫做单项式 的系数；
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系
的系数是 .
数．
单项式的次数：
单项式 ，它的次数 ，是四次单
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这
项式．
个单项式的次数．
易错点：
①单项式的系数包括单项式前面的符号；
② 是一个数，不要将它当作字母．
经典例题
例题3
填下列表格
单项式 系数 次数
例题4
1 如果 与 都是五次单项式，则 ．
2 已知 是关于 ， 的五次单项式，则这个单项式的系数是（ ）．
A. B. C. D.
三、多项式
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定 义 示例剖析
多项式的定义： ， ， 是多项式；
几个单项式的和叫做多项式． ， 不是多项式．
多项式的项：
每个单项式叫做多项式的项．多项式中的各项包 多项式 中， 、1是多项式
括它前面的符号． 的项，1是常数项．
常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项．
多项式的项数：多项式里含有几项，就把这个多
多项式 含有3项，是三项式．
项式叫做几项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫 的次数是二次．
做这个多项式的次数． 的次数是四次．
是二次三项式．
多项式的命名：几次几项式．（汉字）
是四次三项式．
整式的定义：
3， ， 是整式．
单项式与多项式统称整式.
把多项式按某个字母升幂、降幂排列 升幂排列：
降幂排列：
经典例题
例题5
1 下列式子中，是多项式的是： ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
2 将下列代数式分别填入相应的后面：
； ； ； ； ； ； ； ；
整式： ,
单项式： ,
多项式： ,
二项式： ,
二次多项式： ．
例题6
1 多项式 是 次 项式，各项分别为 ，最高次
项是 ，最高次项的系数是 ，一次项是 ，一次项的系数是 ．
2 多项式 的次数是 ．三次项系数是 ．
3 把多项式 按字母 升幂排列为 ，按字母 降幂排列为 ．
课后作业
习题1
“ 、 两数的和的平方”用代数式表示为（ ）．
A. B.
C. D.
习题2
下列说法中正确的是（ ）．
A. 是单项式 B. 的系数为
C. 不是单项式 D. 的次数是
习题3
写出下列单项式的系数和次数．
单项式
系数
次数
习题4
五次单项式 的系数为 ．
习题5
下列各式： ， ， ， ， ， ， ， 中单项式的个数有
个，多项式有 个．
习题6
请按要求填写下表：
多项式
多项式的项数是
多项式的次数是
多项式的命名为
习题7
把多项式 按 的降幂排列是 ．
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
粘题式改错，让我们事半功倍~
说说心里话
良いスタートは、半ばの成功!
第五天，过半喽~
你的姓名：_______________________________________________________________
第五节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第5讲 整式的认识
一、代数式
知识引入
教师节表白——胜券在握？OR 忐忑不安？
“首先，先在心里想一个数字，加1，再乘以2，再加4，再除以2，最后减掉一开始心里想的那个数字，
再加上517，就是我想对您说的话！”小明羞涩的对学而思数学老师说.
老师非常配合地，默默的在纸上写下了——
6+1=7,7×2=14，14+4=18,18÷2=9,9-6=3,3+517=520！
“老师，我爱你”，说完小明就一溜烟的跑走了.
聪明的同学们，你们知道这次表白有风险吗？
以前我们接触的数学可能大多都是2×3，-5+2，7 +23这样纯数字的，可是有时候我们需要表示一种规
律，比如长方形的面积=长×宽，圆的周长=2π×周长等，再比如刚才的表白，于是用字母代表数就出现在
我们传统的数学中.如果长方形的长用a来表示，宽用b来表示，那么长方形的面积=ab；r表示圆的半径，
那么圆的周长=2πr.如果用x表示老师心里想的数字，就可以列出下面的式子：
，
这样的式子我们就称为代数式.
知识导航
代数式的定义：
代数式的书写格式
像 ， ， ， 这样，用运算符
①数前母后：
号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式
②带分数系数化假分数：
（algebraic expression）.
③数字乘以字母，字母乘以字母时乘号省
注意点：
略：
①单独的一个数或字母也是代数式；
④除号变分数线：
② 是一个数，也是一个代数式；
⑤单位带括号： 元
③可以含有绝对值符号 （ ）；
⑥系数1和-1省略： ,
④代数式中不能出现=，<，>，≈，≠，≥，≤等关系
⑦相同字母写成幂的形式：
符号
经典例题
例题1
用代数式表示：
(1) 比 多 的数： ．
(2) 与 的差的相反数： ．
(3) 与 的和的倒数： ．
(4) 与 的平方和： ．
(5) 被 除，商 余 的数： ．
(6) 与 的和是 的数： ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
(5) 略．
(6) 略．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：列代数式
例题2
某移动通迅公司开设了两种通迅业务，“全球通”：使用时首先交 元月租费，然后每通话 分钟，
自付话费 元，“动感地带”：不交月租费，每通话 分钟，付话费 元，（本题的通话费均指市
内通话），若一个月通话 分钟，两种方式的费用分别表示 元和 元．
(1) 用含 的代数式分别表示 和 ，则 ， ．
(2) 某人估计一个月内通话 分钟，应选择哪种移动通迅合算些．
答案 (1) 1．
2．
(2) 全球通合算些．
解析 (1) 根据题意可知“全球通”为 ，“动感地带”为 ．
(2) 当 时， 元， ，
∴全球通合算些．
标注 式 >整式加减 >整式的加减运算 >题型：整式加减的综合
二、单项式
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定 义 示例剖析
单项式的定义：
像 ， ， ， ， 等都是数
与字母的积，像这样的代数式叫做单项式．
例如： ， 是单项式；
注意点：
①单独一个数或一个字母也是单项式；
、 、 不是单项式
②分母中不含字母；
③不存在数与字母、字母与字母的加减．
单项式的系数：
叫做单项式 的系数；
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系
的系数是 .
数．
单项式的次数：
单项式 ，它的次数 ，是四次单
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这
项式．
个单项式的次数．
易错点：
①单项式的系数包括单项式前面的符号；
② 是一个数，不要将它当作字母．
经典例题
例题3
填下列表格
单项式 系数 次数
答案 填表见解析．
解析 略
单项式 系数 次数
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：求单项式的系数和次数
例题4
1 如果 与 都是五次单项式，则 ．
答案
解析 因为第一式为五次，所以字母 的次数为 ，所以 ；同理可得 ，所以 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：由单项式的系数和次数求参数的值
2 已知 是关于 ， 的五次单项式，则这个单项式的系数是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意知： ，
∴ ，
∴单项式系数为 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：由单项式的系数和次数求参数的值
三、多项式
知识导航
定 义 示例剖析
多项式的定义： ， ， 是多项式；
几个单项式的和叫做多项式． ， 不是多项式．
多项式的项：
每个单项式叫做多项式的项．多项式中的各项包 多项式 中， 、1是多项式
括它前面的符号． 的项，1是常数项．
常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项．
多项式的项数：多项式里含有几项，就把这个多
多项式 含有3项，是三项式．
项式叫做几项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫 的次数是二次．
做这个多项式的次数． 的次数是四次．
是二次三项式．
多项式的命名：几次几项式．（汉字）
是四次三项式．
整式的定义：
3， ， 是整式．
单项式与多项式统称整式.
把多项式按某个字母升幂、降幂排列 升幂排列：
降幂排列：
经典例题
例题5
1 下列式子中，是多项式的是： ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
答案 ①③⑤
解析 ①③⑤是多项式．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：多项式的判断
2 将下列代数式分别填入相应的后面：
； ； ； ； ； ； ； ；
整式： ,
单项式： ,
多项式： ,
二项式： ,
二次多项式： ．
答案 1． 、 、 、 、 、
2． 、
3． 、 、 、
4． 、 、
5．
解析
略
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：多项式的判断
例题6
1 多项式 是 次 项式，各项分别为 ，最高次
项是 ，最高次项的系数是 ，一次项是 ，一次项的系数是 ．
答案 1．三
2．四
3． , , ,
4．
5．
6．
7．
解析 多项式 是三次四项式，各项分别为 ， ， ， 最高次项是 ，最
高次项的系数是 ，一次项是 ，一次项的系数是 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：求多项式的项和次数
2 多项式 的次数是 ．三次项系数是 ．
答案 1．
2．
解析 多项式 的次数是 ，三次项系数是 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：求多项式的项和次数
3 把多项式 按字母 升幂排列为 ，按字母 降幂排列为 ．
答案 1．
2．
解析 按字母 升幂排列为 ．
按字母 降幂排列为 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：多项式升幂降幂排列
课后作业
习题1
“ 、 两数的和的平方”用代数式表示为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 两数的和 ，得平方： ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：列代数式
习题2
下列说法中正确的是（ ）．
A. 是单项式 B. 的系数为
C. 不是单项式 D. 的次数是
答案 D
解析 数与字母的积为单项式， 中分子有和；
为常数项，也为单项式；
的系数为 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：求单项式的系数和次数
习题3
写出下列单项式的系数和次数．
单项式
系数
次数
答案 单项式
系数
次数
解析 根据单项式系数及次数的定义，即可得出答案.
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：求单项式的系数和次数
习题4
五次单项式 的系数为 ．
答案
解析 依题意， ，所以 ，所以系数 ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：由单项式的系数和次数求参数的值
习题5
下列各式： ， ， ， ， ， ， ， 中单项式的个数有
个，多项式有 个．
答案
1．
2．
解析 是单项式． 是多项式． 是单项式． 不是整式．
是单项式． 是多项式． 是多项式． 不是整式．
∴单项式有 个，多项式有 个．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：多项式的判断
习题6
请按要求填写下表：
多项式
多项式的项数是
多项式的次数是
多项式的命名为
答案 多项式
多项式的项数是
多项式的次数是
多项式的命名为 六次三项式 五次四项式
解析 略.
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：求多项式的项和次数
习题7
把多项式 按 的降幂排列是 ．
答案
解析 只看 的指数即可： ．
标注 式 >整式加减 >整式有关的概念 >题型：多项式升幂降幂排列
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
粘题式改错，让我们事半功倍~
说说心里话
良いスタートは、半ばの成功!
第五天，过半喽~
你的姓名：_______________________________________________________________
第五节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】
