第7讲 一元一次方程的概念及解法
一、等式的定义与性质
知识引入
喜羊羊和美羊羊的故事（一）
正常版
同时增肥20斤
同时减肥40斤
知识导航
定 义 示例剖析
等式的概念：
用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的分类：
恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式
总能成立．
条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等
式才能成立． 需要 才成立．
矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等
式都不能成立． 如 ， ， ．
等式性质1：
等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）， 若 ，则 ．
所得结果仍是等式．
等式性质2： 若 ，则 ，
等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是 若 且 ，则 ．
0），结果仍是等式．
在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
对称性：如果 ，那么 ； 若 ，则 ，
传递性：如果 ， ，那么 .
经典例题
例题1
1 下列各式中，哪些是等式，是等式的请指出类型．
① ；② ；③
④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ；
⑩ ．
答案 等式有：②③④⑥⑨⑩；
②是恒等式；③是条件等式；④是条件等式；⑥是条件等式；⑨是恒等式；⑩是矛盾等式．
解析 略
标注 方程与不等式 >等式与方程 >等式的性质 >题型：利用等式性质1
2 若 ，则下列各式不一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ： ，可得 ， 得不到 ，∴ 不正确．
： ，两边同时减 ， ，正确．
： ，两边同时乘以 ， ，正确．
： ， ， ，正确．
标注 方程与不等式 >等式与方程 >等式的性质 >题型：利用等式性质2
3 判断下列说法是否正确：
1. 如果 那么 ．
2. 如果 ,那么 ．
3. 如果 ,那么 ．
4. 如果 ，那么 ．
5. 如果 ，那么 ．
6. 如果 ,那么 ．
7. 如果 ，那么 ．
8. 如果 ，那么 ．
答案 FTFTF TFF
解析 略
标注 方程与不等式 >等式与方程 >等式的性质 >题型：利用等式性质1
二、一元一次方程的概念
知识引入
从小学，我们就知道有方程这么回事，老师告诉我们，方程的思想实际上是一种正向思
维，很多难题只要用到方程就可以迎刃而解了.的确，上初中后，方程思想，必须根深蒂
固，重要重要重要的已经不能再重要了！那么，方程到底是怎么出现的呢？实际上很easy!
“5的2倍加3等于13”这句陈述句翻译成数学式子就是“ 5×2+3=13”，
现在把式中的“5”隐藏起来，变成“什么数的2倍加3等于13”，于是乎，陈述句变成
疑问句，等式也就变成了方程.如果将“什么数”用“ x”表示则有“ 2x+3=13”，这就是方
程！
这里的“x”因为不知道，我们就叫它“未知数”，实际上用任何一个东西表示它都可
以，比如“a,b,c”甚至你可以一些你喜欢的图形，比如“ ， ， ，……”来表示.现在
普遍使用的 是由笛卡尔首先开始的，这是因为在罗马字母表中的x ，在法语中也很多，因
此印刷厂中x的活字也很多的缘故.
知识导航
定 义 示例剖析
方程的定义：含有未知数的等式．即：
①方程中必须含有未知数； 例如 是等式不是方程．
②方程是等式，但等式不一定是方程．
方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的
例如 是方程 的解.
值，叫做方程的解．
方程中的已知数：一般是具体的数值．
例如 中， 5和0是已知数，
方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用
例如关于 、 的方程 中，
、 、 等字母表示．
、 是未知数， 、 、 是已知数．
关于x的方程：其他字母都为已知数．
一元一次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程． ， ，
注：“元”是指未知数，
“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的最简形式：
方程 （ ， ， 为已知数）的形式叫一 例如 ， 等．
元一次方程的最简形式．
一元一次方程的判定：
如方程 是一元一次方程．
①判定是否整式方程；
方程 不是一元一次方程 方程
②化为最简形式或标准形式；
不是一元一次方程
③判定是否“一元”，是否“一次”．
经典例题
例题2
1 下列式子
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ ；⑧ （ ， 为已知数）；⑨ ；⑩
中，方程有 个，一元一次方程有 （填序号）
答案 1．
2．⑤⑥⑨
解析 方程有 个，其中②不含未知数，不是方程．
一元一次方程有⑤⑥⑨，
①含有两个未知数；③等式左边不是整式；④未知数的项的最高次数为 ；⑤虽然方程中含有
、 两个未知数，但未知数 可以消掉；⑥是一元一次方程；⑦含有绝对值，不是一元一次方
程；⑧无法判断 ，不是一元一次方程；⑨虽然方程含有 项，但可以消掉；⑩未知数 可
以消掉，不是一元一次方程．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >一元一次方程基础 >题型：判断一元一次方程
2 填空：
(1) 若 是关于 的一元一次方程，则 的值是 ．
(2) 已知方程 是一元一次方程，则 ．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 略
(2) 略
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >一元一次方程基础 >题型：由一元一次方程的定义求参数的
值
例题3
1 若 是方程 的解，则 的值是 ．
答案
解析 ∵把 代入到 得：
，
∴解方程得： ．
故答案为 ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >含参一元一次方程 >题型：解为定值问题
2 已知关于 的方程 的解为 ，则 的值为 ．
答案
解析 将 代入方程： ，即 ．
得： ．
∴ ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >一元一次方程基础 >题型：由一元一次方程的解求参数的值
三、一元一次方程的基本解法
知识引入
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？”
知识导航
解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
①不要漏乘不含分母的项；
去分母 方程两边都乘各分母的最小公倍数 ②分子是和、差的形式时，要在分子
加上括号
①不要漏乘括号里面的项；
去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号
②防止出现符号错误
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项 ①移项要变号；
移项
移到方程的另一边 ②不要漏项
①系数相加减；
合并同类项 把方程化为ax=b（a≠0）的形式
②字母和字母的指数不变
①除数不能为0；
系数化为1 方程两边都除以未知数的系数
②不要把分子、分母颠倒
注意：这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一
定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
经典例题
例题4
1 下列解方程去分母正确的是（ ）．
A. 由 ，得
B. 由 ，得
C. ，得
D. 由 ，得
答案 C
解析 中 ，得 ， 错误；
中 ，得 ， 错误；
中 ，得 ， 正确；
中 ，得 ， 错误．
故选 ．
标注 方程与不等式 >等式与方程 >等式的性质 >题型：利用等式性质2
2 在解方程 时，下列变形正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ． 不应该扩大 倍．
． 应分子、分母同时扩大 倍．
． 应分子、分母同时扩大 倍．
标注 方程与不等式 >等式与方程 >等式的性质 >题型：利用等式性质2
例题5
解下列方程式
(1) ．
(2) ．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 略
(2) 略
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程
例题6
1 解方程：
．
答案 ．
解析 略．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程
2 解方程：
．
答案 ．
解析 略．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程
3 ．
答案 ．
解析 ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为 ，得： ．
故答案为： ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：解含小数的一元一次方程
4
答案
解析 ，
，
，
，
，
．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：解含小数的一元一次方程
例题7
完成下列各题：
(1) 解方程： ．
(2) 如果 表示 ，若 ，求 的值．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) ．
(2) 由题意，得 ，解得 ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：常规一元一次方程解法
课后作业
习题1
下列式子哪些是方程？
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ．
答案 （ ）（ ）（ ）．
解析 略．
标注 方程与不等式 >等式与方程 >方程 >题型：方程的判断
习题2
下列式子是否是一元一次方程？
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）
；（ ） ；（ ） ．
答案 （ ）（ ）（ ）（ ）．
解析 略．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >一元一次方程基础 >题型：判断一元一次方程
习题3
运用等式性质进行变形，正确的是（ ）．
A. 如果 ，那么
B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么
D. 如果 ，那么
答案 B
解析 A选项：利用等式性质 ，两边都加 ，
得到 ，错误；
B选项：利用等式性质 ，两边都乘以 ，
得到 ，正确；
C选项：成立的条件 ，错误；
D选项：成立的条件 ，错误；
故选B.
标注 方程与不等式 >等式与方程 >等式的性质 >题型：利用等式性质2
习题4
1 已知： 是方程 的一个解，求 的值．
答案 ．
解析 把 代入方程得： ，
解得： ，
则 ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >一元一次方程基础 >题型：由一元一次方程的解求参数的值
2 若 是关于 的方程 的解，则关于 的方程 的解为（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 将 代入方程 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：常规一元一次方程解法
习题5
解方程： ．
答案 ．
解析 去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为 得： ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：常规一元一次方程解法
习题6
解方程： ．
答案 .
解析 去分母(方程两边同乘以 )，得
．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为 ，得 ．
∴原方程的解是 ．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：常规一元一次方程解法
习题7
解方程．
．
答案 ．
解析
∴
．
标注 方程与不等式 >一元一次方程 >解一元一次方程 >题型：常规一元一次方程解法
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
合理的时间规划表，让时间游刃有余~
说说心里话
第七天，还在坚持的你真棒~
你的姓名：_______________________________________________________________
第七节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第7讲 一元一次方程的概念及解法
一、等式的定义与性质
知识引入
喜羊羊和美羊羊的故事（一）
正常版
同时增肥20斤
同时减肥40斤
知识导航
定 义 示例剖析
等式的概念：
用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的分类：
恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式
总能成立．
条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等
式才能成立． 需要 才成立．
矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等
式都不能成立． 如 ， ， ．
等式性质1：
等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）， 若 ，则 ．
所得结果仍是等式．
等式性质2： 若 ，则 ，
等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是 若 且 ，则 ．
0），结果仍是等式．
在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
对称性：如果 ，那么 ； 若 ，则 ，
传递性：如果 ， ，那么 .
经典例题
例题1
1 下列各式中，哪些是等式，是等式的请指出类型．
① ；② ；③
④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ；
⑩ ．
2 若 ，则下列各式不一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3 判断下列说法是否正确：
1. 如果 那么 ．
2. 如果 ,那么 ．
3. 如果 ,那么 ．
4. 如果 ，那么 ．
5. 如果 ，那么 ．
6. 如果 ,那么 ．
7. 如果 ，那么 ．
8. 如果 ，那么 ．
二、一元一次方程的概念
知识引入
从小学，我们就知道有方程这么回事，老师告诉我们，方程的思想实际上是一种正向思
维，很多难题只要用到方程就可以迎刃而解了.的确，上初中后，方程思想，必须根深蒂
固，重要重要重要的已经不能再重要了！那么，方程到底是怎么出现的呢？实际上很easy!
“5的2倍加3等于13”这句陈述句翻译成数学式子就是“ 5×2+3=13”，
现在把式中的“5”隐藏起来，变成“什么数的2倍加3等于13”，于是乎，陈述句变成
疑问句，等式也就变成了方程.如果将“什么数”用“ x”表示则有“ 2x+3=13”，这就是方
程！
这里的“x”因为不知道，我们就叫它“未知数”，实际上用任何一个东西表示它都可
以，比如“a,b,c”甚至你可以一些你喜欢的图形，比如“ ， ， ，……”来表示.现在
普遍使用的 是由笛卡尔首先开始的，这是因为在罗马字母表中的x ，在法语中也很多，因
此印刷厂中x的活字也很多的缘故.
知识导航
定 义 示例剖析
方程的定义：含有未知数的等式．即：
①方程中必须含有未知数； 例如 是等式不是方程．
②方程是等式，但等式不一定是方程．
方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的
例如 是方程 的解.
值，叫做方程的解．
方程中的已知数：一般是具体的数值．
例如 中， 5和0是已知数，
方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用
例如关于 、 的方程 中，
、 、 等字母表示．
、 是未知数， 、 、 是已知数．
关于x的方程：其他字母都为已知数．
一元一次方程的定义： ， ，
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程．
注：“元”是指未知数，
“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的最简形式：
方程 （ ， ， 为已知数）的形式叫一 例如 ， 等．
元一次方程的最简形式．
一元一次方程的判定：
如方程 是一元一次方程．
①判定是否整式方程；
方程 不是一元一次方程 方程
②化为最简形式或标准形式；
不是一元一次方程
③判定是否“一元”，是否“一次”．
经典例题
例题2
1 下列式子
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ ；⑧ （ ， 为已知数）；⑨ ；⑩
中，方程有 个，一元一次方程有 （填序号）
2 填空：
(1) 若 是关于 的一元一次方程，则 的值是 ．
(2) 已知方程 是一元一次方程，则 ．
例题3
1 若 是方程 的解，则 的值是 ．
2 已知关于 的方程 的解为 ，则 的值为 ．
三、一元一次方程的基本解法
知识引入
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？”
知识导航
解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
①不要漏乘不含分母的项；
去分母 方程两边都乘各分母的最小公倍数 ②分子是和、差的形式时，要在分子
加上括号
①不要漏乘括号里面的项；
去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号
②防止出现符号错误
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项 ①移项要变号；
移项
移到方程的另一边 ②不要漏项
①系数相加减；
合并同类项 把方程化为ax=b（a≠0）的形式
②字母和字母的指数不变
①除数不能为0；
系数化为1 方程两边都除以未知数的系数
②不要把分子、分母颠倒
注意：这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一
定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
经典例题
例题4
1 下列解方程去分母正确的是（ ）．
A. 由 ，得
B. 由 ，得
C. ，得
D. 由 ，得
2 在解方程 时，下列变形正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
例题5
解下列方程式
(1) ．
(2) ．
例题6
1 解方程：
．
2 解方程：
．
3 ．
4
例题7
完成下列各题：
(1) 解方程： ．
(2) 如果 表示 ，若 ，求 的值．
课后作业
习题1
下列式子哪些是方程？
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ．
习题2
下列式子是否是一元一次方程？
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ）
；（ ） ；（ ） ．
习题3
运用等式性质进行变形，正确的是（ ）．
A. 如果 ，那么
B. 如果 ，那么
C. 如果 ，那么
D. 如果 ，那么
习题4
1 已知： 是方程 的一个解，求 的值．
2 若 是关于 的方程 的解，则关于 的方程 的解为（ ）．
A. B. C. D.
习题5
解方程： ．
习题6
解方程： ．
习题7
解方程．
．
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
合理的时间规划表，让时间游刃有余~
说说心里话
第七天，还在坚持的你真棒~
你的姓名：_______________________________________________________________
第七节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】
