第8讲 二元一次方程组的概念及解法
一、二元一次方程
知识引入
吧
我们不生产水，我们只是大自然的搬运工！
我们不害怕，只是把“一元”改成了“二元”！！！
所以——
一元考什么，二元就考什么！
一元怎么做，二元就怎么做！
唯一不同的——
就是解的个数问题啦！
二元有好多好多好多解，有木有！！
知识导航
二元一次方程的定义 示例剖析
含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的
整式方程叫二元一次方程．
二元一次方程的解 实例剖析
使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的
是 的解，
值，叫做二元一次方程的解．
二元一次方程的解的情况 实例剖析
是 的解，
任何一个二元一次方程都有无数组解．
也是 的解
可以看出 有无数组解.
经典例题
例题1
1 下列方程中，是二元一次方程的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
；⑧ ；⑨ ；⑩ ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2 若 是关于 、 的二元一次方程，则 （ ）．
A. B. C. D.
3 若 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
例题2
请回答下列问题：
(1) 下列各组数中，是方程 的解是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知 是方程 的解，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
二、二元一次方程组
知识引入
“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，书中是这样叙述的：今有雉兔同
笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何 这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在
一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔
知识导航
二元一次方程组的定义 示例剖析
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方
,
程，叫做二元一次方程组.
二元一次方程组的解 实例剖析
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元
的解是 .
一次方程组的解.
二元一次方程组的解的情况 实例剖析
①一般地，一个二元一次方程组只有唯一一组解 ① 的解是 .
②无数组解 ② 的解有无数组.
③无解 ③ 无解.
经典例题
例题3
1 选择填空．
已知下列方程组： ， ， ， ，其中属于二元一次方程
组的个数为 ．
A. B. C. D.
2 二元一次方程组 的解是（ ）．
A. B.
C. D.
三、二元一次方程组的基本解法
知识引入
数学家当消防员
一天，数学家觉得自己再也忍受不了和数学打交道的生活了，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员.消防队
长说你看上去不错，可是我得先给你做一个测试.
消防队长带数学家来到消防队后院小巷，巷子里有一间货仓，一个消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货
仓起火，你怎么办？”
数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭.”
队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”
数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着！”
队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”
数学家回答：“这样，我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了！”
【草根评语】
看似搞笑的故事，确蕴含了一个非常重要的数学思想——化归！！！就是把我们不会的、不熟悉的问题转化成
我们会的、熟悉的内容！
二元一次方程组我们不会解，我们会什么？一元一次方程！So，我们只要想办法把二元一次方程组变成一元一
次方程不就OK了！
那么问题来了？怎么把二元变一元————————消元！！！
知识导航
代入消元法一般步骤 示例剖析
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中
解方程组
的一个未知数，例如 ，用另一个未知数如 的代数式表示
出来，即写成 的形式；
解：由①得 ③
②把 代入另一个方程中，消去 ，得到一个关于
把③代入②，得
的一元一次方程；
解得
③解这个一元一次方程，求出 的值；
把 代入③得
④回代求解：把求得的 的值代入 中求出 的值，
所以方程组的解是 .
从而得出方程组的解；
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
加减消元法一般步骤 实例剖析
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当
的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或 解方程组
相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一 解：② 得 ③
个未知数，得到一个一元一次方程； ③ ①得
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 解得
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一 把 代入①得 即
个未知数的值； 所以方程组的解是 .
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
经典例题
例题4
解下列方程组：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题5
解方程组：
(1) ．
(2) ．
例题6
1 解方程组： ．
2 解方程组： ．
例题7
在解关于 ， 的方程组 时，甲看错了第一个方程中的 ，得到的解为 ，乙
看错了第二个方程中的 ，得到的解为 ，那么按正确的 ， 计算，求 的值．
课后作业
习题1
下面方程中，是二元一次方程的有（ ）个．
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
习题2
下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）．
A. B. C. D.
习题3
二元一次方程组 的解是（ ）．
A. B. C. D.
习题4
解方程组：
(1) ．
(2) ．
习题5
解方程组： ．
习题6
解方程组： ．
习题7
在解关于 ， 的方程组 时，小强正确解得 ，而小刚看错了 解得 ，
则当 时，求代数式 的值．
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
适度的反思，让我们的进步立竿见影~
说说心里话
第八天，胜利就在眼前~
你的姓名：_______________________________________________________________
第八节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第8讲 二元一次方程组的概念及解法
一、二元一次方程
知识引入
吧
我们不生产水，我们只是大自然的搬运工！
我们不害怕，只是把“一元”改成了“二元”！！！
所以——
一元考什么，二元就考什么！
一元怎么做，二元就怎么做！
唯一不同的——
就是解的个数问题啦！
二元有好多好多好多解，有木有！！
知识导航
二元一次方程的定义 示例剖析
含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的
整式方程叫二元一次方程．
二元一次方程的解 实例剖析
使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的
是 的解，
值，叫做二元一次方程的解．
二元一次方程的解的情况 实例剖析
是 的解，
任何一个二元一次方程都有无数组解．
也是 的解
可以看出 有无数组解.
经典例题
例题1
1 下列方程中，是二元一次方程的有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
；⑧ ；⑨ ；⑩ ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 A
解析 ①不是，因为只有一个未数，
④不是，因为含未知数的项的最高次数是 ，
⑤不是，因为方程中含有分式，
⑥不是，因为有三个知数，
⑧不是，因为含有未知数的项的最高次数是 ，
⑨不是，需强调( ， ， ， ， 为常数)，
⑩不是，因为是绝对值方程，
∴②③⑦是二元一次方程，选 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >二元一次方程 >题型：判断二元一次方程
2 若 是关于 、 的二元一次方程，则 （ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵ 是关于 ， 的二元一次方程，
∴ ，
．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >二元一次方程 >题型：由二元一次方程定义求参数的
值
3 若 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
答案
解析 根据题意， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >二元一次方程 >题型：由二元一次方程定义求参数的
值
例题2
请回答下列问题：
(1) 下列各组数中，是方程 的解是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知 是方程 的解，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 (1) B
(2) A
解析 (1) 略．
(2) 略．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >二元一次方程 >题型：由二元一次方程的解求参数的
值
二、二元一次方程组
知识引入
“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，书中是这样叙述的：今有雉兔同
笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何 这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在
一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔
知识导航
二元一次方程组的定义 示例剖析
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方
,
程，叫做二元一次方程组.
二元一次方程组的解 实例剖析
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元
的解是 .
一次方程组的解.
二元一次方程组的解的情况 实例剖析
①一般地，一个二元一次方程组只有唯一一组解 ① 的解是 .
②无数组解 ② 的解有无数组.
③无解 ③ 无解.
经典例题
例题3
1 选择填空．
已知下列方程组： ， ， ， ，其中属于二元一次方程
组的个数为 ．
A. B. C. D.
答案 A
解析 是，满足二元一次方程组的定义；不是，因为含有三个未知数；不是，因为含有分式；不
是，因为含有分式．
故选 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：根据定义解决二元一次方
程组
2 二元一次方程组 的解是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ① ，
②
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
三、二元一次方程组的基本解法
知识引入
数学家当消防员
一天，数学家觉得自己再也忍受不了和数学打交道的生活了，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员.消防队
长说你看上去不错，可是我得先给你做一个测试.
消防队长带数学家来到消防队后院小巷，巷子里有一间货仓，一个消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货
仓起火，你怎么办？”
数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭.”
队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”
数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着！”
队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”
数学家回答：“这样，我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了！”
【草根评语】
看似搞笑的故事，确蕴含了一个非常重要的数学思想——化归！！！就是把我们不会的、不熟悉的问题转化成
我们会的、熟悉的内容！
二元一次方程组我们不会解，我们会什么？一元一次方程！So，我们只要想办法把二元一次方程组变成一元一
次方程不就OK了！
那么问题来了？怎么把二元变一元————————消元！！！
知识导航
代入消元法一般步骤 示例剖析
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中
解方程组
的一个未知数，例如 ，用另一个未知数如 的代数式表示
出来，即写成 的形式；
解：由①得 ③
②把 代入另一个方程中，消去 ，得到一个关于
把③代入②，得
的一元一次方程；
解得
③解这个一元一次方程，求出 的值；
把 代入③得
④回代求解：把求得的 的值代入 中求出 的值，
所以方程组的解是 .
从而得出方程组的解；
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
加减消元法一般步骤 实例剖析
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当
的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或 解方程组
相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一 解：② 得 ③
个未知数，得到一个一元一次方程； ③ ①得
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 解得
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一 把 代入①得 即
个未知数的值； 所以方程组的解是 .
⑤把这个方程组的解写成 的形式．
经典例题
例题4
解下列方程组：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
例题5
解方程组：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 略
(2) 略
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
例题6
1 解方程组： ．
答案
解析 两方程相减，得： ①
两方程相加，得： ②
①+②得： ，
① ②得： ,
所以，方程组的解为： ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
2 解方程组： ．
答案 ．
解析 两方程相加，得： ，即 ①
两方程相减，得： ，即 ②
① ②得： ，解得 ，
① ②得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
例题7
在解关于 ， 的方程组 时，甲看错了第一个方程中的 ，得到的解为 ，乙
看错了第二个方程中的 ，得到的解为 ，那么按正确的 ， 计算，求 的值．
答案
解析 方法一：
方法二：把 代入 ，解得 ，
把$$$\begin{cases}x=5 \\ y=4 \\\end{cases}代入$$$ ，解得 ，
∴原方程组为 ，解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
根据解的定义，将解代入正确的方程中一定是成立的，因而可以求参．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >含参二元一次方程组 >题型：看错系数
课后作业
习题1
下面方程中，是二元一次方程的有（ ）个．
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案 D
解析 ①为二元一次方程；
②为二元一次方程；
③为二元一次方程；
④为二元一次方程．
故选 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >二元一次方程 >题型：判断二元一次方程
习题2
下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 略．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >二元一次方程组 >二元一次方程组的定义
习题3
二元一次方程组 的解是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ① ，
②
① ②得到 ，把 代入①得到 ，
．
故选： ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
习题4
解方程组：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1)
②乘以 得 ③
①—③得 ，得 ．
将 代入①式解得 ，
所以原方程的解为 ．
(2) 由原方程组整理得：
，
（ ）
化简得： ，
（ ）
由（ ） （ ）得： ，则 ，
把 代入（ ）得： ，
∴ ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
习题5
解方程组： ．
答案
解析 ①化简得：
②
① ②得： ，
解得： ，
将 代入②中得： ，
所以原方程组的解为 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
习题6
解方程组： ．
答案
解析
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >解二元一次方程组 >题型：加减消元法
习题7
在解关于 ， 的方程组 时，小强正确解得 ，而小刚看错了 解得 ，
则当 时，求代数式 的值．
答案
解析 方法一：
得
方法二：由题意 ， 代入 ，
∴ ，解得： ，把 代入 ，
∴ ， ，∴ ，
把 代入 ．
标注 方程与不等式 >二元一次方程（组） >含参二元一次方程组 >题型：看错系数
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
适度的反思，让我们的进步立竿见影~
说说心里话
第八天，胜利就在眼前~
你的姓名：_______________________________________________________________
第八节课的感觉：①so easy
②perfect
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】
