人教版数学七上 第9讲 一元一次不等式的概念及解法 学案(pdf、教师版+学生版)

第9讲 一元一次不等式的概念及解法
一、不等式的概念及性质
知识引入
喜羊羊和美羊羊的故事（二）
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知识导航
1.不等式的概念
（ ）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式．
例如： ， ， ， ， ， 等都是不等式．
（ ）常见的不等号有 种：“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”．
（ ）不等号“ ”和“ ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改
变成与其相反的方向．
例如：“ ”改变方向后，就变成了“ ”．
2.不等式的性质
（ ）基本性质 ：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．
如果 ，那么 ．
如果 ，那么 ．
（ ）基本性质 ：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
（ ）基本性质 ：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
（ ）不等式的互逆性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
（ ）不等式的传递性：如果 ， ，那么 ．
经典例题
例题1
根据下面的数量关系，列不等式：
(1) 是正数．
(2) 是非负数．
(3) 的 倍与 的和小于 ．
(4) 的相反数与 的一半的差是正数．
(5) 的 与 的 倍的和是非负数．
(6) 除以 的商加上 至多为 ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
(5) 略
(6) 略
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：列不等式
例题2
回答下列各题：
(1) 设 ， ， 都是实数，且满足：用 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用不等式的两边
去除 ，不等号方向改变；用 去乘不等式的两边，不等号要变成等号则
、 、 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 根据 ，则下面哪个不等式不一定成立（ ）．
A. B. C. D.
(3) 设 用“ ”、“ ”、“ ”或“ ”号填空
1 ．
2 ．
3 ．
4 ．
5 ．
6 ．
7 ．
8 ．
(4) 用“ ”、“ ”号填空．
1 如果 ，那么 ．
2 如果 ，那么 ．
3 如果 ，那么 ．
4 如果 ，那么 ．
5 如果 ，那么 ．
答案 (1) B
(2) C
(3) 1
2
3
4
5
6
7
8
(4) 1
2
3
4
5
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 1 略．
2 略．
3 略．
4 略．
5 略．
6 略．
7 略．
8 略．
(4) 1 略．
2 略．
3 略．
4 略．
5 略．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：不等式的性质
二、不等式的解和解集
知识导航
（ ）不等式的解
定义：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．
例如： ， ， ， ， 都是不等式 的解，当然它的解还有许多．
（ ）不等式的解集
定义：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．
（ ）在数轴上表示不等式的解集（示意图）．
不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图
【注意】
①不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．
②不等式的解集可以用数轴来表示．
③不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个
值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；
④不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．
经典例题
例题3
请回答下列问题：
(1) 下列说法中，正确的是（ ）．
A. 是不等式 的解 B. 是不等式 的唯一解
C. 不是不等式 的解 D. 是不等式 的解集
(2) 下列说法中，错误的是（ ）．
A. 不等式 的整数解有无数多个 B. 不等式 的负整数解有有限个
C. 不等式 的解集是 D. 是不等式 的一个解
答案 (1) A
(2) C
解析 (1) 解不等式
解得：
．正确，因为：
．错误，因为： ，不等式不是唯一解．
．错误，因为： ， 是不等式 的解．
．错误，因为不等式的解集是 ，
故答案为： ．
(2) 略．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式 >题型：判断一元一次不等式的解集
三、一元一次不等式的定义及其解法
知识导航
（ ）一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为 或 的形
式，其中 是未知数， 是已知数，并且 ，这样的不等式叫一元一次不等式．
【注意】 或 （ ）叫做一元一次不等式的标准形式．
（ ）一元一次不等式的解法：
去分母 去括号 移项 合并同类项（化成 或 形式） 系数化 （化成 或 的形
式）
【注意】①一元一次不等式和一元一次方程的解法唯一的区别就是最后一步系数化为1，当系数为负数
时，不等号要反向.
②注意一些限定条件，比如正整数解，负整数解等.
经典例题
例题4
请回答下列各题：
(1) 不等式 的解集是 ．
(2) 不等式 的正整数解是 ．
(3) 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
(4) 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 (1)
(2) ， ，
(3) D
(4) B
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式 >题型：解不等式
例题5
解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：
1
2
答案 1 ．
2 ．
解析 1 略．
2 略．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：解不等式组
四、一元一次不等式组的解法
知识导航
一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元
一次不等式组的解集
解一元一次不等式组的步骤：
（ ）求出这个不等式组中各个不等式的解集．
（ ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集．
【注意】
①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；
②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解．
不等式组的解集的情况
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：
不等式组（ ） 图示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
空集 大大小小无解了
经典例题
例题6
1 判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ．
答案 （ ）（ ）．
解析 （ ）中 是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；
（ ）中 是一元二次不等式，故不是元一次不等式组；
（ ）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；
（ ）含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；
（ ）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．
综上，可知（ ）（ ）是一元一次不等式组．
故答案为：（ ）（ ）．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：判断不等式
2 不等式组 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由不等式和数轴的知识点可知
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：解不等式组
3 将不等式 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 不等式 的解集是 ，数轴表示为：
．
故选 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：在数轴上表示不等式组的解集
例题7
解下列一元一次不等式组．
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) ①，
②
由①得： ，
由②得： ，
∴原不等式组的解集为： ．
(2) ① ，
②
由①得： ，
由②得： ，
∴原不等式组的解集为： ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：解不等式组
课后作业
习题1
1 用不等式表示：
的 与 的差是负数．
答案
解析
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：列不等式
2 用不等式表示：
与 的和的 不大于 ．
答案
解析 根据题意列式可得 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：列不等式
习题2
如果 ，则下列哪个不等式是正确的（ ）
A. B. C. D.
答案 D
解析 ，两边同乘上 ，∴ ， 错误．
，两边同乘上 ，∴ ， 错误．
，两边同乘上 ，∴ ， 错误．
，两边同乘上 ，∴ ， 正确．
标注 数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数比较大小
习题3
根据 ，则下面哪个不等式不一定成立（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 选择 ，正确应为 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：不等式的性质
习题4
下列说法中，正确的有 个．
① 的解集是 ；
② 是 的解；
③ 的整数解有无数个；
④不等式 的负整数解只有 个．
答案
解析 正确的是①③④；②中 的解集为 ，不包括 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式 >题型：解不等式
习题5
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
答案
解析
．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式 >题型：在数轴上表示不等式的解集
习题6
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
答案 ，图略．
解析 略．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式 >一元一次不等式的解集
习题7
1 下列不等式组：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．其
中一元一次不等组的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 B
解析 根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ，所
以都是一元一次不等式组；③含有一个未知数，但未知数的最高次数是 ，⑤含有两个未知
数，所以②⑤都不是一元一次不等式组．
故有①②④三个一元一次不等式组．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >不等式 >题型：判断不等式
2 解不等式组
答案 ．
解析 ①
②
由①： ,
由②： ,
∴ ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：解不等式组
3 不等式组 的整数解是 ．
答案
解析 ①，
②
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集 ．
∴它的整数解是 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：一元一次不等式组的整数解
学霸笔记
我的改错本
榜样的力量
数学手抄报，让我们爱上数学~
说说心里话
хорошее начало - - - половина успеха
第九天，你真的坚持下来了~
你的姓名：_______________________________________________________________
第九节课的感觉：①so easy
②just so so
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】第9讲 一元一次不等式的概念及解法
一、不等式的概念及性质
知识引入
喜羊羊和美羊羊的故事（二）
正常版
同时增肥20斤
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知识导航
1.不等式的概念
（ ）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式．
例如： ， ， ， ， ， 等都是不等式．
（ ）常见的不等号有 种：“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”．
（ ）不等号“ ”和“ ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改
变成与其相反的方向．
例如：“ ”改变方向后，就变成了“ ”．
2.不等式的性质
（ ）基本性质 ：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．
如果 ，那么 ．
如果 ，那么 ．
（ ）基本性质 ：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
（ ）基本性质 ：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
如果 ，并且 ，那么 （或 ）．
（ ）不等式的互逆性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．
（ ）不等式的传递性：如果 ， ，那么 ．
经典例题
例题1
根据下面的数量关系，列不等式：
(1) 是正数．
(2) 是非负数．
(3) 的 倍与 的和小于 ．
(4) 的相反数与 的一半的差是正数．
(5) 的 与 的 倍的和是非负数．
(6) 除以 的商加上 至多为 ．
例题2
回答下列各题：
(1) 设 ， ， 都是实数，且满足：用 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用不等式的两边
去除 ，不等号方向改变；用 去乘不等式的两边，不等号要变成等号则
、 、 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 根据 ，则下面哪个不等式不一定成立（ ）．
A. B. C. D.
(3) 设 用“ ”、“ ”、“ ”或“ ”号填空
1 ．
2 ．
3 ．
4 ．
5 ．
6 ．
7 ．
8 ．
(4) 用“ ”、“ ”号填空．
1 如果 ，那么 ．
2 如果 ，那么 ．
3 如果 ，那么 ．
4 如果 ，那么 ．
5 如果 ，那么 ．
二、不等式的解和解集
知识导航
（ ）不等式的解
定义：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．
例如： ， ， ， ， 都是不等式 的解，当然它的解还有许多．
（ ）不等式的解集
定义：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．
（ ）在数轴上表示不等式的解集（示意图）．
不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图
【注意】
①不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．
②不等式的解集可以用数轴来表示．
③不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个
值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；
④不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．
经典例题
例题3
请回答下列问题：
(1) 下列说法中，正确的是（ ）．
A. 是不等式 的解 B. 是不等式 的唯一解
C. 不是不等式 的解 D. 是不等式 的解集
(2) 下列说法中，错误的是（ ）．
A. 不等式 的整数解有无数多个 B. 不等式 的负整数解有有限个
C. 不等式 的解集是 D. 是不等式 的一个解
三、一元一次不等式的定义及其解法
知识导航
（ ）一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为 或 的形
式，其中 是未知数， 是已知数，并且 ，这样的不等式叫一元一次不等式．
【注意】 或 （ ）叫做一元一次不等式的标准形式．
（ ）一元一次不等式的解法：
去分母 去括号 移项 合并同类项（化成 或 形式） 系数化 （化成 或 的形
式）
【注意】①一元一次不等式和一元一次方程的解法唯一的区别就是最后一步系数化为1，当系数为负数
时，不等号要反向.
②注意一些限定条件，比如正整数解，负整数解等.
经典例题
例题4
请回答下列各题：
(1) 不等式 的解集是 ．
(2) 不等式 的正整数解是 ．
(3) 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
(4) 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
例题5
解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：
1
2
四、一元一次不等式组的解法
知识导航
一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元
一次不等式组的解集
解一元一次不等式组的步骤：
（ ）求出这个不等式组中各个不等式的解集．
（ ）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集．
【注意】
①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；
②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解．
不等式组的解集的情况
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：
不等式组（ ） 图示 解集 口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
空集 大大小小无解了
经典例题
例题6
1 判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ；（ ） ．
2 不等式组 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
3 将不等式 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
例题7
解下列一元一次不等式组．
(1) ．
(2) ．
课后作业
习题1
1 用不等式表示：
的 与 的差是负数．
2 用不等式表示：
与 的和的 不大于 ．
习题2
如果 ，则下列哪个不等式是正确的（ ）
A. B. C. D.
习题3
根据 ，则下面哪个不等式不一定成立（ ）．
A. B. C. D.
习题4
下列说法中，正确的有 个．
① 的解集是 ；
② 是 的解；
③ 的整数解有无数个；
④不等式 的负整数解只有 个．
习题5
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
习题6
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
习题7
1 下列不等式组：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．其
中一元一次不等组的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2 解不等式组
3 不等式组 的整数解是 ．
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榜样的力量
数学手抄报，让我们爱上数学~
说说心里话
хорошее начало - - - половина успеха
第九天，你真的坚持下来了~
你的姓名：_______________________________________________________________
第九节课的感觉：①so easy
②just so so
③a little difficult
这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________
例题有没有没听懂的：_____________________________________________________
本讲作业用时：_______________________________________________________________
作业有没有不会的：_________________________________________________________
想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：
【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】