【慧学智评】北师大版九上数学 4-8 黄金分割及其应用 同步授课课件

(共14张PPT)
第四章
图形的相似
第37课
黄金分割及其应用
关于黄金分割比的起源大多数人认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听．他发现铁匠打铁的节奏很有规律，这个声音的比被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来，被应用在很多领域．后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”，也有人称其为“金法”．在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在．黄金分割比的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在我们生活中比比皆是．
C
A
B
问题1图
【问题1】如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C%// //%分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做%// //%．
黄金
黄金比
C
A
B
问题2图
【问题2】你能计算黄金比吗？
已知：如图，C为AB的一个黄金分割点．求的值．
解：由＝，得AC2＝AB·BC．
设AB＝1，AC＝x，则BC＝1－x，
∴x2＝1×(1－x)，即x2＋x－1＝0，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)．
∴黄金比＝≈0.618．
【问题3】如图，线段AB的黄金分割点有几个？请大致画出来.
解：如答图，有2个；
①当AC＞BC时，＝；
②当AC＜BC时，＝．
C
A
B
D
例题1图
【例题1】(1)如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果AB＝10．那么AD＝%// //%，BD＝%// //%，CD＝%/ ///%．
5－5
15－5
10－20
(2) 已知点 是线段 的黄金分割点, ,则
或
【例题2】 如图所示的是矩形 , 以矩形 的宽为边在其内部作正方形 , 那么我们 可以惊奇地发现 . 点 是 的黄金分割点吗 矩形的宽与长的比是黄金比吗
解: 四边形 为正方形,
四边形 为矩形,
,
点 是 的黄金分割点,
矩形的宽与长的比是黄金比.
A
C
B
第1题图
1.如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么下列说法错误的是 (%// //%)


A．线段AB被点C黄金分割
B．点C叫做线段AB的黄金分割点
C．AB与AC的比叫做黄金比
D．AC与AB的比叫做黄金比
C
A
P
B
第2题图
2.如图，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则下列命题：
①AB2＝AP·PB，②BP2＝AP·AB，③AP2＝PB·AB，
④AP∶AB＝PB∶AP，
其中正确的是%// //% ．
③④
x
l
第3题图
3.(★)【中考真题】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到1 cm) (%// /%)

A．4 cm B．6 cm

C．8 cm D．10 cm
C
C
A
D
B
E
第4题图
4.如图，已知线段AB长为2，经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB上截取AC＝AE．则AC的长为%// //%．
－1
C
A
D
B
第5题图
5.（☆）如图，在黄金三角形ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D ．

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；

(2)求线段AD的长．
(1)证明：∵AB＝AC＝1，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－36°)＝72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝180°－36°－72°＝72°，
∴DA＝DB，BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，
∴BC∶AC＝CD∶BC，即BC2＝CD·AC，
∴AD2＝CD·AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；
(2)解：设AD＝x，则CD＝AC－AD＝1－x，

∵AD2＝CD·AC，∴x2＝1－x，

解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，

即AD的长为．