第七章 平行线的证明单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学八年级上册第七单元《平行线的证明》单元测试卷
考试范围：第七章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则为正整数例如：当关键词出现在书中时，，否则根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词，，，则下列相关表述错误的是
A. 当时，只需要选择这本书就可以找到所有的关键词
B. 当时，从这本书查不到需要的关键词
C. 当时，可以从这本书查到需要的关键词
D. 当时，从这本书一定查不到需要的关键词
甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是
A. 甲的车是白色的，乙的车是银色的
B. 乙的车是蓝色的，丙的车是红色的
C. 丙的车是白色的，丁的车是蓝色的
D. 丁的车是银色的，甲的车是红色的
小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞不考虑多个小球相撞的情况若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球现在模拟器中有型小球个，型小球个，型小球个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球以下说法：其中正确的说法是
最后剩下的小球可能是型小球；
最后剩下的小球一定是型小球；
最后剩下的小球一定不是型小球．
A. B. C. D.
在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是
A. 如果，那么是直角三角形
B. 如果，那么是直角三角形且
C. 如果：：：：，那么是直角三角形
D. 如果：：：：，那么是直角三角形
下列命题：直角三角形两锐角互余；全等三角形的对应角相等；两直线平行，同位角相等：对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是
A. B. C. D.
下列命题：在同一平面内两条不相交的直线叫平行线；经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；从直线外一点引这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；如果直线，，那么；在同一平面内，如果直线，，那么；同位角相等。是假命题的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是
A. 第一次右拐，第二次左拐 B. 第一次左拐，第二次右拐
C. 第一次左拐，第二次左拐 D. 第一次右拐，第二次右拐
如图，下列条件：，，，，，中能判断直线的有
个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，，，则以下说法中正确的是
A. ，的角度数之和为定值 B. 随的增大而增大
C. ，的角度数之积为定值 D. 随的增大而减小
如图，，，平分，，，则等于
A. B. C. D.
如图，锐角中，、分别是、边上的点，≌，≌，且，、交于点若，则的大小是
A. B. C. D.
如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，这一规律是
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，中，与的角平分线交于点，若，则______．
如图，在中，已知，，点为边的中点，连结，过点作于点，将沿直线翻折到的位置．若，则______．
下面是六个推断：
因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角．
因为周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角．
因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形．
因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行．
因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形．
因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形．
其中正确的结论有______个，其序号是______．
把一张长方形纸片按图中那样折叠后，若得到，则______
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
某次数学竞赛中有道选择题，每题分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这道题的得分：
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分
甲
乙
丙
丁 ______
则丁同学的得分是______；
如果有一个同学得了分，他的答案可能是______写出一种即可
甲、乙、丙三位老师分别教数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课程化学老师和数学老师住在一起；甲老师最年轻；数学老师和丙老师爱下象棋；物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻三人中最年长的老师住的地方比其他两位老师远三位老师分别教哪两门课程？
已知命题：“是等边内的一点，若到三边的距离相等，则”
写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．
进一步证明：点到等边各边的距离之和为定值．
请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：
如图，于，于，，求证：．
如图，已知，，于点，那么与有什么数量关系？为什么？
如图，在三角形中，点、分别为边、上的点，于点，于点，连接，且．
求证：；
猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点．
求点、的坐标．
点为轴正半轴上一点，若，且，分别平分，，如图，求的度数．
如图，也可以利用图
求点的坐标；
点为坐标轴上一点，若的三角形和的面积相等？若存在，求出点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键．
根据题意 的值要么为 ，要么为 ，当关键词 出现在书 中时，元素 ，否则 为正整数 ，按照此规定对每个选项分析推理即可．
【解答】
解：根据题意 的值要么为 ，要么为 ，
A 、 ，说明 ， ， ，故关键词“ ， ， ”同时出现在书 中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“ ， ， ”的书，故 A 表述正确；
B 、当 时，则 、 、 的值都为 ，即从 这本书查不到需要的关键词 ，故 B 表述正确；
C 、当 时， ， ， ，至少有一个值为 ，可以从 这本书查到需要的关键词，故 C 表述正确；
D 、当 时，而 的值可能为 、 、 、从 这本书可能查到需要的关键词
故 D 表述错误．
故选： ．
2.【答案】
【解析】解：丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，
假设乙的车是红色，
乙的说法是实话，
丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，
假设丙的车是红色，
丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”，
乙的说法是实话，
有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，
只有甲的车是红色，
甲的说法是实话，
丙的说法不是实话，
丙说：“丁的车不是蓝色的．”
丁的车是蓝色，
乙和丙的车一个是白色，一个是银色，
甲说：“乙的车不是白色．”且甲的说法是实话，
丙的车是白色，乙的车是银色，
即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，
故选：．
先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁的车是蓝色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色．
此题是推理与论证题目，解决此类题目先假设某个说法正确，然后根据题意进行分析推理，看是否有矛盾，进而得出结论，
3.【答案】
【解析】解：假设个球中每两个球进行碰撞，则可以得到个球，个球中让其中个球每两个进行碰撞，则可以得到个球，加上原来的球，共个球，让这个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知正确，错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样一奇一偶．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为，所以最后剩下的小球一定不是型小球，正确．
故选：．
和可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的、数量的奇偶性来判断的正确与否．
本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现、数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
直角三角形的判定方法有： 求得一个角为 ， 利用勾股定理的逆定理．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难度不大．
【解答】
解： 如果 ，
， ，
度， 是直角三角形，正确；
B. 如果 ，那么 是直角三角形
则 ，故错误；
C. ： ： ： ： ，
是直角三角形，正确；
D. 如果 ： ： ： ： ，那么 是直角三角形，
符合勾股定理，故正确．
故选 B ．
5.【答案】
【解析】解：直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；
全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；
两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：
对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；
故选：．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行公理及推论、垂线及平行线的性质，真假命题的判定，解答此题由平行线的定义，判定可判断 ， ， ， 是否正确，由垂线的性质可判断 ， 是否正确．
【解答】
解： 在同一平面内两条不相交的直线叫平行线，正确，是真命题；
经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，当点在直线上时就不成立了，故 是假命题；
从直线外一点引这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离，错误，应该是垂线段的长度才叫点到直线的距离，故 是假命题；
如果直线 ， ，那么 ，正确，是真命题；
在同一平面内，如果直线 ， ，那么 ，错误，根据在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，结论应是 ，故 是假命题；
同位角相等，只有在两直线平行的条件下同位角才相等，故 是假命题；
假命题共有 个，
故选 C ．
7.【答案】
【解析】解：如图：
可得与平行，但方向相反，
平行，且方向向同，
A、不平行．
故选：．
首先根据题意画出图形，由同位角相等，两直线平行，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了平行线的判定．注意同位角相等，两直线平行定理的应用，注意数形结合思想的应用．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】
解： 由 ，可得 ；
由 ，可得 ；
由 ， ，可得 ，即可得到 ；
由 ，不能得到 ；
由 ， 可得 ，即可得到 ；
故能判断直线 的有 个．
故选 B ．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
过 点作 ，利用平行线的性质解答即可．
【解答】
解：过 点作 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
随 增大而增大，
故选： ．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两直线平行内错角相等的性质和角平分线的定义有关知识，由 ， 推出 ，根据平行线的性质求出 的度数，再根据角平分线的定义求出 ，所以
【解答】
解： ， ，
，
， ，
， ，
，
平分 ，
，
．
故选 C ．
11.【答案】
【解析】解：设，，
≌，≌，
，，，
，．
，
，，
，即．
则．
，
．
故选：．
由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
此题求的是、、之间的数量关系，根据三角形内角和定理，首先表示出的度数，得到所求的结论．
【解答】
解：如图，
根据折叠的性质知：，；
由三角形的内角和定理知：；
中，；
故，
即：，
，
即，
．
故选A．

13.【答案】
【解析】解：，
，
、分别是的角、的平分线，
，，
，
．
故答案为：．
求出的度数，根据平分线的定义得出，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．
14.【答案】
【解析】解：如图，作于．
由翻折可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
故答案为．
如图，作于首先证明，解直角三角形求出，再证明即可．
本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；
因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；
因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；
因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；
因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小题错误；
符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确．
故正确的结论有个，其序号是．
故答案为：，．
分别根据角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理对各小题进行逐一判断．
本题考查的是角的定义、扇形的定义、线段的特点、正方形的性质及等腰三角形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，也考查了折叠的性质．
先根据图形折叠的性质求出 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】
解： ，
，
由折叠的性质得， ，
故答案为： ．
17.【答案】
【解析】解：当甲选错了第题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第，，道错了，做对两道，此时，得分为，而乙得分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第，，道错了，做对道，此时，得分为分，而乙得分分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第道错了，而乙的得分是分，所以，乙只能做对道，即：第题乙也选错，即：第题的选项C正确，
针对于丙来看，第，题错了，做对道，此时，丙的得分为分，而乙的地方为分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第，，道错了，做对了道，此时，得分分，而乙的得分为分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第道错了，而乙的得分为分，所以，乙只能做对道，所以，乙第题也错了，所以，第题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第，，题错了，做对了道，得分分，
针对于丁来看，第，题错了，做对了道，得分分，
故答案为；
由知，五道题的正确选项分别是：，
如果有一个同学得了分，那么，只选对道，
即：他的答案可能是或或或等，
故答案为：或答案不唯一
分甲从第题到第题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
由先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键．
18.【答案】解：第一步：根据化学老师和数学老师住在一起；三人中最年长的教师住得比其他两位教师都远；可知乙老师不授化学和数学；
根据物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻”，推理得出：乙老师的年龄最大，其次是物理老师，年龄最小的是生物老师；因为甲老师最年轻，所以甲老师是生物老师；由此可知：乙老师不教生物和物理；
结论：乙老师授语文和历史；
第二步：根据数学老师和丙爱下象棋；化学老师和数学老师住在一起；可知：丙授化学；
根据甲老师最年轻物理老师比生物教师年长，比乙老师年轻；可知：丙授物理；
结论：丙授化学和物理；
第三步：剩下的甲授数学和生物．
【解析】抓住“物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻”，推理得出：乙老师的年龄最大，其次是物理老师，年龄最小的是生物老师；因为甲老师最年轻，所以甲老师是生物老师；由此入手展开讨论推理即可解决问题．
此类题要正确找到解决问题的关键点，抓住关键的条件展开讨论推理出正确答案．
19.【答案】解：逆命题： 是等边三角形 内的一点，若 ，则 到三边的距离相等． 该逆命题成立．
证明如下：，
在 的垂直平分线上，
，
在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，
平分，
同理， 平分， 平分，
是 三个角的角平分线的交点，
．
且 ，
由面积法可得 点到各边的距离之和任意边上的高线长，即为定值．
【解析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由，，根据线段垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出平分，同理，平分，平分，那么是三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出．
本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图，中，是边的中点，且
求证：是直角三角形
证明：是边的中点，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是直角三角形．
【解析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案．
此题考查的是命题与定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用．
21.【答案】证明：，，
，
．
又，
，
【解析】根据平行线的判定推知；然后由平行线的性质、等量代换推知内错角，则易证得结论．
本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
22.【答案】解：与互余，
理由：，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即与互余．
【解析】根据垂直的定义得到，即，根据平角的定义得到，根据余角的性质得到，根据平行线的性质得到，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：于点，于点，
，
；
，理由如下：
，
，
．
，
，
【解析】根据垂直的定义和平行线的判定证明即可；
根据平行线的判定和性质解答即可．
本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，熟记平行线的性质与判定方法并准确识图是解题的关键．
24.【答案】解：，
，，
，，
，；
如图，
，
，
而，
，
，分别平分，，
，，
，
而，
，
，
，
，
即；
连结，如图，
设，
的面积的面积的面积，
，
解得，
点坐标为；
存在．
的面积，
当点在轴上时，设，
的三角形的面积的面积，
，
解得或，
此时点坐标为或；
当点在轴上时，设，
则，
解得或，
此时点坐标为，
综上所述，满足条件的点坐标为；；，．
【解析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；也考查了三角形面积公式和平行线的性质．
根据非负数的性质得，，然后解方程组求出和即可得到点和的坐标；
由得，而，所以，再根据角平分线定义得，，则，接着利用直角三角形的性质，及三角形内角和定理得，即可得解；
连结，如图，设，根据的面积的面积的面积列出方程，求解即可；
先计算的面积，分类讨论：当点在轴上时，当点在轴上时，分别求解，从而得到点坐标．
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