第四章 一次函数单元测试卷（标准难度）（含解析）

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北师大版初中数学八年级上册第四单元《一次函数》单元测试卷
考试范围：第四章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
甲乙两地相距，如图表示往返于两地的公交车离甲地的距离单位：与从早晨：开始经过的时间单位：之间的关系．小明早晨点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇次，被同向行驶的公交车超越次，则小明的速度可能是
A. B. C. D.
为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工程改造道路里程公里与时间天的函数关系大致的图象是
A. B.
C. D.
结合学习函数的经验，小红在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．根据图象，小红得到了该函数四条结论，其中正确的是
A. 随的增大而减小
B. 当时，有最大值
C. 当与时，函数值相等
D. 当时，
下列函数不是一次函数的是
A. B. C. D.
若直线经过点，直线经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，若一次函数的值随的增大而减小，则该一次函数的图象可能经过的点的坐标是
A. B. C. D.
如图，一次函数与的图象相交于点，则函数的图象可能是
A. B.
C. D.
是方程的解，则函数的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
甲、乙两车分别从、两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为：，甲、乙两车离中点的路程千米与甲车出发时间时的关系图象如图所示，则下列说法不正确的是
A. 乙车的速度为千米时
B. 的值为
C. 的值为
D. 当甲、乙车相距千米时，甲行走了或
如图，一条笔直的公路上依次有、、三个村庄，甲从村匀速骑自行车到村，乙从村经村匀速骑摩托车到处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲骑车的时间为，甲、乙两人离村的距离为，与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是
A. 乙先到村 B. 甲的速度为
C. 乙的速度为 D. 图中的值
某种瓜苗早期在农科所温室中生长，长到时，移至村庄的大棚内沿插杆继续向上生长研究表明，天内，这种瓜苗的平均高度与生长时间天的函数关系的图象如图所示当这种瓜苗长到大约时，开始开花，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
甲、乙两人分别从，两地相向而行，他们距地的距离与时间的关系如图所示，下列说法错误的是
A. 甲的速度是 B. 甲出发小时后与乙相遇
C. 乙的速度是 D. 乙比甲晚出发小时
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离米与甲出发后步行的时间分之间的关系如图所示，下列结论：
甲步行的速度为米分；
乙走完全程用了分钟；
乙用分钟追上甲；
乙到达终点时，甲离终点还有米．
其中正确的结论有______写出所有正确结论的序号
将正比例函数是常数，的图象，沿着轴的一个方向平移个单位后与轴、轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为，那么这个正比例函数的解析式是______．
已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的关系式为______．
如图，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图所示．如果将正方体铁块取出，又经过______秒恰好将水槽注满．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为单位：在运动过程中的面积单位：随运动时间的变化而变化．
当点运动到点时，求值及此时的面积．
在整个运动过程中，求与的关系式．
在疫情期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量万个与生产时间天的关系，乙表示旧设备的产量万个与生产时间天的关系：
由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了______天；
求新，旧设备每天分别生产多少万个口罩？
在生产过程中，为何值时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
如图，直线与，轴交于点，，直线与、轴交于点，，这两条直线交于点
求点坐标；
若为直线上一点，当的面积为时，求的坐标．
一次函数的图象经过，两点．
此一次函数的解析式；
求的面积．
在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于，两点．将直线在轴上方的部分沿轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线：分别交于点，．
求，的值；
横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段，，围成的区域不含边界为．
当时，区域内有______个整点；
若区域内恰有个整点，直接写出的取值范围．
暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身次，按照方案一所需费用为元，且；按照方案二所需费用为元，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
某乒乓球馆普通票价为元张，，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
金卡售价为元张，每次凭卡不再收费；
银卡售价为元张，每次凭卡另收元；
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．
设打乒乓球次时，所需总费用为元．
分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式；
在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算．
大学生小张利用暑假天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为元件的新型商品，此类新型商品在第天的销售量件与销售的天数的关系如表：
天
销售单价元件与满足：当时，；当时，．
直接写出销售量与的函数关系．
这天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
若超市每卖一件商品就捐赠元给希望工程，实际上，前天扣除捐赠后的日销售利润随的增大而增大，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：小明在中途与迎面而来的公交车相遇次，被同向行驶的公交车超越次．
他的函数图象如图在和之间，
小明所用的时间在分钟之间，
，，
小明的速度在之间，
故选：．
根据题意画出小明的函数图象，得到小明所用时间的范围，即可求出他的速度范围．
本题考查了函数图象，解题的关键是确定小明所用时间的范围．
2.【答案】
【解析】解：随的增大而减小，
选项AD错误；
施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，
选项C错误；
施工队随后加快了施工进度，
随的增大减小得比开始的快，
选项B正确；
故选：．
根据随的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项D错误；根据施工队随后加快了施工进度得出随的增大减小得比开始的快，即可判断选项A、的正误．
本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象和性质，解题关键是根据函数解析式得出函数值和自变量的取值范围．根据函数的图象以及函数的解析式逐一判断即可．
【解答】
解： 由图象可知，当 时， 随 的增大而增大，故本选项不合题意；
B. 函数的自变量的取值范围为 ， 没有最大值，故本选项不合题意；
C. 当 时，函数值为 ；当 时，函数值为 ，故本选项不合题意；
D. 由图象可知，当 时， ，故本选项符合题意；
故选 D ．
4.【答案】
【解析】解：、是一次函数，故A不符合题意；
B、是反比例函数，故B错误；
C、是一次函数，故C正确；
D、是反比例函数，故B错误；
故选：．
根据一次函数的定义，可得答案．
本题通过考查一次函数，利用一次函数是常数是解题关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出 与 的交点坐标为 与 与 轴的交点是解题关键．
根据对称的性质得出点 关于 轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线 的关系式，然后求出直线 与 轴的交点即可．
【解答】
解：设直线 的解析式为 ，
直线 经过点 ， 经过点 ，且 与 关于 轴对称，
两直线相交于 轴上，点 关于 轴的对称点 在直线 上，
把 和 代入 ，得 ，
解得： ，
故直线 的解析式为： ，
令 ，则 ，
即 与 的交点坐标为 ．
故选： ．

6.【答案】
【解析】解：一次函数的值随的增大而减小，
．
如点在一次函数的图象上，
，
，
选项符合题意；
如点在一次函数的图象上，
．
．
选项不符合题意；
如点在一次函数的图象上，
．
，
选项不符合题意；
如点在一次函数的图象上，
．
，
选项不符合题意；
综上，选项符合题意．
故选：．
将各选项的坐标代入解析式中，求得值为负数的选项为正确选项．
本题主要考查了一次函数图象的性质，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：的图象经过一二四象限，
，，
，
直线与的交点为，
，
函数的图象经过经过一二四象限，
令，则，
直线与的交点的横坐标小于，
故选：．
根据图象得到，，，进一步得到，，即可得出，得到函数的图象经过经过一二四象限，且直线与的交点的横坐标小于．
本题考查了两条直线相交或平行，熟练掌握一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：把代入，得，
解得，
所以函数为，
函数的图象经过第一、二、四象限，
所以函数的图象不经过第三象限．
故选：．
先把代入得，则函数为，然后根据一次函数的性质求解．
本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．也考查了一次函数的性质．
9.【答案】
【解析】解：由已知得：、两地之间的距离为千米，
出发时，甲、乙两车离中点的路程是千米，即，故C正确，不符合题意；
乙车的速度为千米小时，故A正确，不符合题意；
而甲车的速度为千米小时，
的值为，故B正确，不符合题意；
设出发，甲、乙车相距千米，
根据题意得：或，
解得：或，故D错误，符合题意．
故选：．
由两车相遇时甲、乙所走路程的比为：及两车相遇所用时间，即可求出、两地之间的距离，可判断C正确；由乙车的速度相遇时乙车行驶的路程两车相遇所用时间，即可求出乙车的速度，可判断A正确；求出甲车的速度，再根据时间两地之间路程的一半甲车的速度，即可求出值，C正确；设出发甲、乙车相距千米，分两种情况列方程解答即可得D错误，据此即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，结合数量关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了函数的图象，一次函数的应用，解答关键是理解函数图象表示的实际意义．根据 ，可以判断 选项；由甲到达 村需要 ， 村到 村的路程为 ，求出甲的速度，可以判断 选项；设乙的速度为 ，根据两人相遇的地点在距离 村 处，列方程求解可以判断 选项；根据乙走完全程需要的时间可以判断 选项．
【解答】
解：由图象可知：甲到达 村需要 ，乙到达 村需要 ，由于 ，因此乙先到 村，故 A 选项说法正确，不符合题意；
由图象可知：甲到达 村需要 ， 村到 村的路程为 ，因此甲的速度为 ，故 B 选项说法正确，不符合题意；
设乙的速度为 ，由图象可知： ，甲乙两人在距离 村 处相遇，所以 ，解得 ，即乙的速度为 ，故 C 选项说法正确，不符合题意；
图中 的值为 ，故 D 选项说法错误，此选项符合题意．
故选 D ．
11.【答案】
【解析】解：当时，设，
则：，
解得：，
，
当时，，
解得，
天，
这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是是天．
故选：．
利用待定系数法求出时与之间的函数关系式，再把代入计算即可求解．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题是考查一次函数的应用，一个相向行走的时间、路程、速度的关系问题，结合其一次函数图象，读懂函数图象是解题的关键．根据题意，再结合甲乙两人与 地距离和时间的一次函数图象不难解决问题，主要是根据甲乙二人相遇时建立方程求出乙的速度即可判断选项．
【解答】
解：如图所示，甲、乙分别从 、 两地相向而行，
从图象中可看出，当 时， 、 两地距离 ，
甲从 地先出发 小时后乙才从 地出发，故选项 D 正确；
从甲行走的一次函数上看，其速度 ， 项正确；
从图象中可得到两条直线的交点所对应的时间是甲和乙相遇的时间 ，此时甲已出发 ，故 B 项正确；
设乙的速度为 ，则甲乙相遇时他们行走的路程为 、 两地距离可得，
，解得 ，故乙的速度为 ，故 C 项错误．
故选 C ．
13.【答案】
【解析】解：由图可得，
甲步行的速度为：米分，故正确，
乙走完全程用的时间为：分钟，故正确，
乙追上甲用的时间为：分钟，故正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：米，故正确，
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
14.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向上平移个单位时，所得函数的解析式为，
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向下平移个单位时，所得函数的解析式为，
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
故答案为：．
分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为，求出的值即可．
此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
15.【答案】
【解析】解：设函数的解析式是，
则，
解得：，
则函数的解析式是：
设函数的解析式是，然后根据函数经过点和，代入即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，基本思路是先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
16.【答案】
【解析】解：由图形可知，
圆柱体的高是，正方体铁块的高是，圆柱体一半注满水需要秒，
故如果将正方体铁块取出，又经过秒恰好将水槽注满，
故答案为：．
根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将正方体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
17.【答案】解：当点第次运动到点时，点运动的路程为，速度为，
所以运动时间，
当时，点在上，且，
，
的面积为，
当点第次运动到点时，点运动的路程为，速度为，
所以运动时间，
当时，点在上，
的面积为，
答：的值为，的面积为；的值为，的面积为；
当时，点在上，点在第次前往的路线上，
此时，，
；
当时，点在上，点在第次返回的路线上，
此时，，
；
当时，点在上，点返回的路线上，
此时，边上的高为，
；
当时，点在上，点在第次前往的路线上，
此时，边上的高为，
；
当时，点在上，点在第次返回的路线上，
此时，边上的高为，
；
综上所述，与的函数关系式为：．
【解析】当点运动到点时，有两种情况，即点在上，或点在上，点运动的路程为或，速度为，可求出时间的值，进而确定点的位置，计算的面积；
分情况分别求出函数关系式即可．
本题考查函数的关系式，根据不同情况分别表示出的底和相应的高是得出正确答案的关键．
18.【答案】
【解析】解：由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了天，
故答案为：；
新设备：万个天，乙设备：万个天，
答：甲设备每天生产万个口罩，乙设备每天生产万个口罩；
，解得；
，解得；
答：在生产过程中，为或时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
图象中甲对应的函数图象在时，其产量保持不变，据此可得答案；
结合图象，用产量除以所用时间求解可得答案；
分停产前和停产后分别列出方程求解可得．
本题主要考查函数图象，解题的关键是能数量根据图象得出解题所需数据及每段图象所对应的实际意义．
19.【答案】解：将代入得：，
解得：，
将代入得：．
点的坐标为．
把代入得：，
解得，
．
把代入得：，
解得，
．
．
的面积为，
，
解得：．
或．
将代入得：，
解得：，
．
将代入得：，
解得：，
．
综上所述，点的坐标为或．
【解析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，依据三角形的面积公式求得点的纵坐标是解题的关键．
将代入，先求出，再求出；
先求得点和点的坐标，从而可得到的长，然后利用三角形的面积公式可求得点的纵坐标的绝对值，然后将点的纵坐标代入函数解析式求得对应的的值即可．
20.【答案】解：把，代入得到，
解得，
所以直线的解析式为；
直线与轴的交点坐标为，
所以的面积．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
利用待定系数法求直线的解析式；
先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积．
21.【答案】解：直线：与坐标轴分别交于，两点，
，
解得，；
当时，直线：，如图，
区域内有一个整点，
故答案为：；
点代入得，，
，此时区域内有个整点，
由图象可知，当时，区域内恰有个整点．
【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象和性质，画出函数的图象是解题的关键．
利用待定系数法即可求得；
根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
22.【答案】解：过点，，
且
解得，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为元，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为元；
由题意可得，打折前的每次健身费用为元，
则；
选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，，．
当健身次时，
选择方案一所需费用：元，
选择方案二所需费用：元，
，
选择方案一所需费用更少．
【解析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出、关于的函数解析式．
把点，代入，得到关于和的二元一次方程组，求解即可；
根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值；
将分别代入、关于的函数解析式，比较即可．
23.【答案】解：由题意可得，银卡消费：，普通票消费：．
当时，，此时，
故点．
对于，当时，，故A，
当时，，
故点．
当时，普通票消费更合算；
当时，选择购买银卡，普通票的费用相同，均比购买金卡合算；
当时，银卡消费更合算；
当时，选择购买金卡，银卡的费用相同，均比购买普通票合算；
当时，金卡消费更合算．
【解析】见答案
24.【答案】解：设销售量件与销售的天数的函数解析式为，
代入，得，
，
解得，
因此销售量件与销售的天数的函数解析式为；
设销售利润为元，
当时，，
当时，最大为；
当时，
，
当时，最大为；
所以超市第天获得利润最大，最大利润元；
当时，，
对称轴为，
前天扣除捐赠后的日销售利润随的增大而增大，
，解得，
，
．
【解析】由表格可以看出销售量件与销售的天数成一次函数，设出函数解析式，进一步代入求得答案即可；
利用利润售价成本，分别求出在和时，求得与的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可；
求出捐赠元后与的关系式，再根据二次函数的增减性解答即可．
本题主要考查二次函数和一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和用待定系数法求出一次函数的关系式．
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