第五章 二元一次方程组单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学八年级上册第五单元《二元一次方程组》单元测试卷
考试范围：第五章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知是关于，的二元一次方程，则，的值是
A. B. C. D.
已知关于、的方程组，给出下列结论：是方程组的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解；，的都为自然数的解有对．其中正确的为
A. B. C. D.
已知关于，的方程组给出下列结论：
当 时，方程组的解也是 的解；无论 取何值，，的值不可能是互为相反数； ，都为自然数的解有对；若 ，则 正确的有几个
A. B. C. D.
已知，是整数，满足，，则整数的所有可能值有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
小明到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于个虾仁水饺或个韭菜水饺的价钱，若小明先买了个虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好能买韭菜水饺的个数为
A. B. C. D.
如图所示，在一圆形跑道上，甲从点、乙从点同时出发，反向而行，后两人相遇，再过甲到点，又过两人再次相遇，则甲环行一周需要的时间是
A. B. C. D.
学校篮球数比排球数的倍少个，篮球数与排球数的比是：，要求这两种球的个数若设篮球有个，排球有个，则根据题意，得到的方程组是．
A. B. C. D.
如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标为
A.
B.
C.
D.
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大，如果把十位上的数字与个位上的数字换位，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少，求原来的两位数．以下是嘉嘉和淇淇所列的方程组，嘉嘉：淇淇：，下列说法正确的是
A. 嘉嘉正确，淇淇不正确 B. 淇淇正确，嘉嘉不正确
C. 两个人都正确 D. 两个人都不正确
如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为
A. B. C. D.
下面四条直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是
A. B.
C. D.
如图，已知在平面直角坐标系中，点，是函数图象上的两动点，且点的横坐标是，点的横坐标是，将点，点之间的函数图象记作图形，把图形沿直线：进行翻折，得到图形，若图形与轴有交点时，则的取值范围为
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
一个人手中持有面值元、元、元三种人民币，共元，其中元面值的数量是元面值的倍，则他手中持有人民币的数量为________张．
如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为______．
设甲数为，乙数为，则甲数增加与乙数增加到原来的倍后的和比甲、乙两数的和多，则方程为______．
如图所示，一个大长方形刚好由个相同的小长方形拼成，其上、下两边各有个水平放置的小长方形，中间恰好用若干个小长方形平放铺满，若这个大长方形的长是宽的倍，则的值是________
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解．
甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为；乙把字母看错了得到方程组的解为．求，的正确值；
求原方程组的解．
阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”．
判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由；
若点也是“爱心点”，请求出的值；
已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值．
小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别根据下表，解决下列问题：
商品名 单价元 数量个支本 金额元
签字笔
自动铅笔
记号笔
软皮笔记本
圆规
合计
小丽买了自动铅笔、记号笔各几支
若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费元，则有哪几种不同的购买方案
某中学杨老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处童老师交账说：“我买了两种书，共本，单价分别为元和元，买书前我领了元，现在交还余下的元”童老师算了一下，说：“你肯定搞错了”
童老师为什么说他搞错了请您用已学过的方程知识帮童老师向杨老师解释清楚
杨老师连忙清点购买的物品，发现还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于的整数，那么笔记本的单价可能为多少元
某公司购进某种矿石原料吨，用于生产甲、乙两种产品，生产吨甲产品或吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如表：
产品资源 甲 乙
矿石吨
煤吨
生产吨甲产品所需成本费用为元，每吨售价元；
生产吨乙产品所需成本费用为元，每吨售价元，
现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品吨，乙产品吨，公司获得的总利润为元．
写出与之间的关系式；
写出与之间的函数表达式，并写出自变量的范围；
若用煤不超过吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大，最大利润是多少？
运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车．请问：
每节火车车厢和每辆汽车各能够运输多少吨化肥？
节火车车厢和辆汽车共运输多少吨化肥？
如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，的坐标分别是，，点的横坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，直线与轴交于点．
若，，求的度数用含，的式子表示
已知直线上的点的坐标都是二元一次方程的解同学们可以用点，的坐标进行检验，直线上的点的坐标都是二元一次方程的解，求点，的坐标
解方程组比较该方程组的解与直线和直线的交点的坐标，你能得出什么结论
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有 个未知数，未知数的项的次数是 的整式方程．
根据二元一次方程的定义 含有 个未知数，未知数的项的次数是 的整式方程 解答．
【解答】
解：根据题意，得
，解得 ；
，解得 ，
即 ；
故选： ．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将 ， 代入检验即可做出判断；
将 和 分别用 表示出来，然后求出 来判断；
将 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
有 得到 、 都为自然数的解有 对．
【解答】
解： 将 ， 代入方程组得： ，
由 得 ，
由 得 ，故 不正确；
解方程
得：
解得：
将 的值代入 得： ，
所以 ，故无论 取何值， 、 的值都不可能互为相反数，故 正确；
将 代入方程组得：
解此方程得：
将 ， 代入方程 ，方程左边 右边，是方程的解，故 正确；
因为 ，所以 、 都为自然数的解有 ， ， ， ，故 正确．
则正确的选项有 ，
故选 D ．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将 代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
将 和 分别用 表示出来，然后求出 来判断；
由 得到 、 都为自然数的解有 对；
把 与 联立成方程组，求出 、 ，再代入原方程组，就可以求出答案．
【解答】
解： 将 代入方程组得：
得 ，
解得 ，
将 代入 得： ，
此方程组的解为：
，
将 代入 得 ，
当 时，方程组的解也是 的解，
故 正确；
方程组
得 ，
解得 ，
将 代入 得 ，
，
故无论 取何值， ， 的值不可能是互为相反数，
故 正确；
方程组
得： ，
， 都为自然数的解有
故有 对，
故 正确；
方程组
得： ，
得
得 ，
故 正确，
综上所述，正确的有 个．
故选 D ．
4.【答案】
【解析】解：，
，
整理，得
由于、都是整数，
所以或或
即所有可能的值有：、、、、、．
故选：．
用含的代数式表示出，得到关于的一次方程，再用含的代数式表示出，根据、都是整数，得结论．
本题考查了代入消元法解二元一次方程组．解决本题的关键是用含的代数式表示出后变形代数式为整数分式的形式．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，利用条件找到 个虾仁水饺和 个韭菜水饺的价钱之间的关系是解题的关键，注意整体思想的应用 可设 个虾仁水饺为 元， 个韭菜水饺为 元，由题意可得到 与 之间的关系式，再利用整体思想可求得答案．
【解答】
解：设 个虾仁水饺为 元， 个韭菜水饺为 元，
则由题意可得 ，
，
，
他身上剩下的钱恰好可买 个韭菜水饺．
故选 B ．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，理清题目数量关系，设出未知数并确定出两个等量关系是解题的关键，本题巧妙之处在于不需要求出所设的未知数．方法一：设甲、乙的速度分别为 、 ，一圈的路程为 ，然后根据第一次相遇后甲到达 地和两次相遇间隔时间为 分钟分别列出方程，然后消掉 ，再求出 即可得解；方法二：根据两次相遇的间隔为一圈求出甲、乙行驶一圈的时间，再根据甲、乙第一次相遇的时间求出出发时两人的间隔占一圈的份数，然后根据甲从 到 的时间列式计算即可得解．
【解答】
解：方法一：设甲、乙的速度分别为 、 ，一圈的路程为 ，
由题意得，
消掉 得， ，
所以， ，
所以，甲环行一周需要的时间是 分钟；
方法二：由题意得，第一次相遇后 分钟两人第二次相遇，
反向出发 分钟后两人第一次相遇，
、 两点相距 圈，
甲从 到 的时间为 分钟，
甲环行一周需要的时间是 分钟．
故选 B ．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用，根据题目所给信息：学校的篮球比排球数的 倍少 个，列等量关系式，再根据篮球数与排球数的比是 ： ，列等量关系式，二者联立解答．
【解答】
解：设篮球有 个，排球有 个，根据题意得：
．
故选 C ．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形纸片的长为 ，宽为 ，根据点 的坐标，即可得出关于 、 的二元一次方程组，解之即可得出 、 的值，再观察坐标系，可求出点 的坐标．
【解答】
解：设长方形的长为 ，宽为
则
解得
， ，
点 的坐标为 ．
故选 B ．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出二元一次方程组以及一元一次方程．
【解答】
解：设原来的两位数个位上的数字为 ，十位上的数字为 则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 ”列出方程组
设原来的两位数个位上的数字为 ，十位上的数字为 则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 ”列出方程得 ，
所以两个人都正确，
故选 C ．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了轴对称 最短路线问题，等腰直角三角形的性质，两直线相交问题，待定系数法求一次函数解析式，正确找到 点的位置是解题的关键．
根据已知条件得到 ， ，求得 ， ，得到 ， ，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则此时，四边形 的周长最小， ，求得直线 的解析式为 ，联立直线 的解析式解方程组即可得到结论．
【解答】
解： 在 中， ， ，
， ，
，点 为 的中点，
， ，
， ，
作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，
此时四边形 的周长最小， ，
设直线 的解析式为 ，
解得：
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
解 ，得
故选 C ．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．根据两点确定一条直线，当，求出的值，再利用，求出的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
【解答】
解：，
，
当，，当，，
一次函数，与轴交于点，与轴交于点，
即可得出符合要求，
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系和数形结合的知识点；根据题意，作 关于 对称的直线为 ，可得 的直线方程 ，联立方程组，解出交点横坐标，即可求解．
【解答】
解：作 关于 对称的直线为 ，可得 的直线方程
解得：交点横坐标为 和 ，
二者都在范围之内，
．
故选 A ．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查根据实际问题列出二元一次方程，并根据二元一次方程的正整数解解决问题 先根据题意列出方程 十 ，化成 ，根据此题中 均为正整数确定出 ， 的正整数解，再代入 计算即可．
【解答】
解：设 元面值有 张， 元面值有 张，
则 十 ，
，
， 是正整数，
或
，
或 十 ．
故答案为 或 ．
14.【答案】
【解析】解：如下图所示，作直线交于点，过点作轴，交于点．
设直线将四边形的面积分成面积相等的两部分，
设直线的解析式为，代入点，，
得，
设直线的解析式为，代入点，，
得，
设，则，
四边形的面积为，
，
解得，
点坐标为，
设的解析式为，代入和，
解得，
的解析式为．
根据题意画出直线，再设解析式，代入点坐标，分别求出和得解析式，根据铅垂高水平宽等于的面积，即可求出的值，再代入、点坐标即可求出解析式．
本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出的面积是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据甲数增加与乙数增加到原来的倍后的和比甲、乙两数的和多，可得方程．
甲数增加与乙数增加到原来的倍后的和，用代数式表示为．
再根据增加后的和比甲、乙两数的和多，可得方程．
注意甲数增加应表示为，而不是．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二元一次方程组的应用，依据正方形的边长相等列出方程组是解题的关键．设长方形的长为 ，宽为 ，依据题意可得大长方形长为 ，宽为 ，然后列方程 ，解答即可．
【解答】
解：依题意，设小长方形的长为 ，宽为 ，则大长方形长为 ，宽为 ，
则 ，
解得 ，
大长方形有 个 小长方形拼成．
故答案为 ．
17.【答案】解：，
得：，
，
得：，
，
方程组的解互为相反数，
，
，
把代入原方程组的解中：，
，
当时，方程组的解互为相反数，此时这个方程组的解为：．
【解析】先将原方程组中的看作常数，解出方程组的解，由方程组的解互为相反数得到，列式可得的值，代入方程组的解可得结论．
此题考查了二元一次方程组的解和相反数的特点，根据条件得出是本题的关键．
18.【答案】解：根据题意得：，
解得：，，
方程组为，
解得．
【解析】把甲的结果代入方程求出的值，把乙的结果代入方程求出的值；
把，的正确值代入确定出方程组，求出解即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
19.【答案】解：点是爱心点，点不是爱心点，理由如下：
，
，
，
点是爱心点；
，
，
，
点不是爱心点；
点为爱心点，
，
，
又，
，
解得，
，即；
解方程组得，
又点是爱心点满足：，
，
，
，
整理得：，
，是有理数，
，，
，．
【解析】根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得，再求得，进一步得到的值；
解方程组用和表示和，代入，得到关于和的等式，再根据，为有理数，求出，的值．
本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键．
20.【答案】解：设小丽买了自动铅笔支，记号笔支．
根据题意，得解得
答：小丽买了自动铅笔支，记号笔支．
设小丽购买软皮笔记本本，自动铅笔支．
根据题意，得．
、为正整数，
或或
故共有种购买方案：
方案一：购买本软皮笔记本与支自动铅笔
方案二：购买本软皮笔记本与支自动铅笔
方案三：购买本软皮笔记本与支自动铅笔．
【解析】略
21.【答案】解：设单价为元的书买了本，单价为元的书买了本，
根据题意得
解这个方程组，得不符合题意．
所以杨老师肯定搞错了．
设笔记本的单价为元，依题意得，所以，
、都是整数，
要能被整除，为偶数．
为小于的整数，可能为，，，．
当时，，，符合题意
当时，，，不符合题意
当时，，，符合题意
当时，，，不符合题意．
笔记本的单价可能是元或元．
【解析】略
22.【答案】解：与之间的关系式为：．
生产吨甲产品获利：
生产吨乙产品获利：
与的函数表达式为：，自变量取值范围．
根据题意列出不等式：
解得：
又
与的函数表达式为：
随的增大而减小，
当生产甲产品吨时，公司获得的总利润最大
最大元
【解析】因为生产甲产品吨，则用矿石原料吨．所以生产乙产品用矿石原料为 吨，由于每吨乙产品需要吨矿石，所以；先求出生产吨甲、乙两种产品各获利多少，然后可求出获得的总利润．
因为总利润是的一次函数，先求出的取值范围，再根据一次函数的增减性，求得最大利润．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23.【答案】解：设每节火车车厢能够运输吨化肥，每辆汽车能够运输吨化肥，
由题意，得
解得
答：每节火车车厢能够运输吨化肥，每辆汽车能够运输吨化肥；
吨
答：节火车车厢和辆汽车共运输吨化肥．
【解析】设每节火车车厢能够运输吨化肥，每辆汽车能够运输吨化肥，等量关系：运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车．
根据求得的每节火车车厢和每辆汽车各能够运输吨数，分别乘以车的数量，求它们的和即可．
本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
24.【答案】 解：因为轴，轴，轴，
所以，
所以，，
所以．
把代入方程，得，
所以点的坐标为．
因为点在轴上，
所以点的横坐标为，
把代入，得，
所以点的坐标是．
解方程组得
因为点的坐标是，
所以直线和直线的交点坐标就是方程组的解．
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