苏科版数学九年级下册同步课时练习：5.2二次函数y=ax2+k的图像和性质(第2课时)(word版含答案）

第2课时　二次函数y=ax2+k的图像和性质
知识点 1　二次函数y=ax2+k与y=ax2的图像的关系
1.将抛物线y=2x2向下平移1个单位长度,得到的抛物线是 (　　)
A.y=2x2-1 B.y=2x2+1 C.y=2(x-1)2 D.y=2(x+1)2
2.[教材练习第1题变式] [2020·徐州贾汪区期末] 在平面直角坐标系中,抛物线y=x2经平移变换后得到抛物线y=x2+3,则这个变换可以是 (　　)
A.向左平移3个单位长度
B.向上平移3个单位长度
C.向下平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
3.若将抛物线y=ax2+c向下平移7个单位长度,得到抛物线y=-2x2,则a=　　　　,c=_______
　　　　.
4.已知抛物线y=x2,把该抛物线沿着y轴平移,如果平移后的抛物线经过点A(2,2),那么平移后的抛物线的表达式是　　　　　　　 .
知识点 2　二次函数y=ax2+k的图像和性质
5.写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=2x2+2
y=-5x2-3
y=x2+1
y=-x2-4
6.已知y=(k-1)+4是二次函数,且函数图像有最低点,则k的值为 (　　)
A.-1 B.2
C.-1或2 D.-2或1
7.[2020·湖州吴兴区期末] 关于二次函数y=3x2-6,下列叙述正确的是 (　　)
A.当x=3时,y有最大值-6 B.当x=3时,y有最小值-6
C.当x=0时,y有最大值-6 D.当x=0时,y有最小值-6
8.已知点A(2,y1),B(5,y2)在抛物线y=-x2+1上,那么y1　　　　y2.(填“>”“=”或“<”)
9.已知一个二次函数的图像开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的表达式可以是　　　　　　.(只需写出一个)
10.若抛物线y=(3m-6)x2-1有最高点,则m的取值范围是　　　　.
11.已知二次函数y=-x2+4.
(1)在如图示的平面直角坐标系中,画出这个函数的图像;
(2)根据图像,写出当y>0时,x的取值范围.
12.将抛物线y=x2向上平移m个单位长度,所得新抛物线经过点-1,,求新抛物线的函数表达式及新抛物线与y轴的交点坐标.
13.在平面直角坐标系中,如果保持抛物线y=x2不动,而把x轴向上平移2个单位长度,那么在新坐标系中抛物线的函数表达式为 (　　)
A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2
14.已知某二次函数图像过点A(-1,m),B(1,m)和C(2,m-1),则其大致图像为 (　　)
15.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为(　　)
A.a+c B.a-c C.-c D.c
16.已知拋物线y=-x2+2,当1≤x≤5时,y的最大值是　　　　.
17.如图抛物线y=ax2+1(a<0)与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A,B,与y轴交于点C.若∠ACB为直角,则a=　　　　.
18.已知抛物线y=ax2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值;
(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m19.如图,已知二次函数y=x2-4,将x轴下方的图像沿x轴翻折,得到一个新图像(图中的实线).根据新图像回答问题:
(1)当x取何值时,函数y有最小值
(2)当y随x的增大而增大时,求自变量x的取值范围.
20.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-(a≠0)与y轴交于点A,点A关于x轴的对称点为点B.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求点B的坐标(用含a的式子表示);
(3)已知点P1,,Q(3,0),若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图像,求a的取值范围.
答案
第2课时　二次函数y=ax2+k的图像和性质
1.A　
2.B　 抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),抛物线y=x2+3的顶点坐标是(0,3),所以将抛物线y=x2向上平移3个单位长度得到抛物线y=x2+3.故选B.
3.-2　7
4.y=x2-2　 设所求的函数表达式为y=x2+k.
∵点A(2,2)在抛物线上,
∴2=22+k,解得k=-2,
∴平移后的抛物线的表达式是y=x2-2.
5.填表如下.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=2x2+2 向上 y轴 (0,2) 最小值2
y=-5x2-3 向下 y轴 (0,-3) 最大值-3
y=x2+1 向上 y轴 (0,1) 最小值1
y=-x2-4 向下 y轴 (0,-4) 最大值-4
6.B　 ∵y=(k-1)+4是二次函数,且函数图像有最低点,
∴解得k=2.故选B.
7.D　 ∵y=3x2-6,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,-6),
∴当x=0时,y有最小值-6.故选D.
8.>　 ∵-1<0,∴当x>0时,y随x的增大而减小.
∵2<5,∴y1>y2.
9.答案不唯一,如y=2x2-1　 ∵抛物线的顶点坐标为(0,-1),
∴该抛物线的函数表达式为y=ax2-1.
又∵二次函数的图像开口向上,∴a>0,
∴这个二次函数的表达式可以是y=2x2-1.
10.m<2　 由题意,得3m-6<0,即m<2.
11.解:(1)如图.
(2)当y>0时,-212.解:由题意可得新抛物线的函数表达式为y=x2+m.
将-1,代入,得+m=,
解得m=3.
故新抛物线的函数表达式为y=x2+3.
当x=0时,y=3,
即新抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).
13.B　 抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0).
把x轴向上平移2个单位长度,在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(0,-2),
∴在新坐标系中抛物线的函数表达式为y=x2-2.
故选B.
14.D　 ∵过点A(-1,m),B(1,m),
∴二次函数图像的对称轴为y轴.
∵1<2,m>m-1,
∴在y轴右侧y随x的增大而减小,
∴二次函数图像开口向下.故选D.
15.D　 二次函数y=ax2+c的图像的对称轴是y轴,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则x1+x2=0,当x取0时,y=ax2+c=0+c=c.故选D.
16.　 由拋物线y=-x2+2的二次项系数a=-<0,知该抛物线的开口向下.又抛物线的对称轴是y轴,所以当x>0时,y随x的增大而减小,故若1≤x≤5,则当x=1时,y最大值=-+2=.
17.-　 如图,设直线AB与y轴交于点D,则D(0,-3).
∵C(0,1),∴CD=4.
∵抛物线y=ax2+1与过点(0,-3)且平行于x轴的直线相交于点A,B,与y轴交于点C,
∴△ABC为等腰三角形.
又∵∠ACB=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴CD=AD=BD=4,∴B(4,-3),
把B(4,-3)代入y=ax2+1,得16a+1=-3,解得a=-.
18.解:(1)∵抛物线y=ax2+2经过点(1,-2),∴-2=a+2,解得a=-4.
(2)∵抛物线y=-4x2+2的对称轴为y轴,∴点A(m,y1),B(n,y2)(m∵抛物线开口向下,∴在对称轴左侧,y随x的增大而增大.
又∵m19.解:(1)由函数图像可知,当x=-2或x=2时,y有最小值0,
∴当x=-2或x=2时,函数y有最小值.
(2)由函数图像可知,当-22时,y随x的增大而增大,
∴x的取值范围是-22.
20.解:(1)对称轴为直线x=0(或y轴).
(2)∵抛物线y=ax2-与y轴交于点A,
∴A0,-.
∵点A关于x轴的对称点为点B,
∴B0,.
(3)当a>0时,如图①.
抛物线经过点P时,a-=,解得a=或a=-(舍去);
抛物线经过点Q时,9a-=0,解得a=或a=-(舍去).
结合图像可得当≤a≤时,抛物线与线段PQ恰有
一个公共点;
当a<0时,如图②,
抛物线经过点P时,a-=,解得a=-或a=(舍去);
抛物线经过点Q时,9a-=0,解得a=-或a=(舍去).
结合图像可得当-≤a≤-时,
抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
综上所述,当≤a≤或-≤a≤-时,抛物线与线段PQ
恰有一个公共点.