苏科版数学九年级下册 5.5 第1课时 利用二次函数解决最值问题 同步课时练习（word版 含解析）

5.5　第1课时　利用二次函数解决最值问题
知识点1　利润最值问题
1.[2021·南通海安县期中] 农产品市场经销一种销售成本为40元/千克的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,则y与x之间的函数表达式为 (　　)
A.y=(x-40)(500-10x)
B.y=(x-40)(10x-500)
C.y=(x-40)[500-10(x-50)]
D.y=(x-40)[500-10(50-x)]
2.[教材练习变式] [2020·扬州邗江区期末] 某商场以每件40元的价格购进一种服装,由试销知,每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为t=180-3x.则当每件的销售价为　　　　元时,才能使每天的利润最大,最大为　　　　元.
3.[2020·宿迁] 某超市经销一种商品,每千克成本为50元,经试销发现,该种商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,其每天销售单价,销售量的四组对应值如下表所示:
销售单价x(元/千克) 55 60 65 70
销售量y(千克) 70 60 50 40
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式;
(2)为保证某天获得600元的销售利润,则该天的销售单价应定为多少
(3)当销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大 最大利润是多少
知识点2　面积最值问题
4.[2021·苏州工业园区模拟] 用20 cm长的绳子围成一个矩形,如果这个矩形的一边长为x cm,面积是S cm2,则S与x之间的函数表达式为 (　　)
A.S=x(20-x) B.S=x(20-2x) C.S=x(10-x) D.S=2x(10-x)
5.如图用长为10米的篱笆,一面靠墙(墙的长度超过10米),围成一个矩形花圃,设矩形花圃垂直于墙的一边长为x米,花圃面积为S平方米,则S关于x的函数表达式是　　　　　　,当垂直于墙的一边长为　　　　米时,花圃面积最大,最大面积为　　　　平方米.
6.[2020·南京雨花台区期末] 某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图示的①②③三个养殖区域,其中区域①是正方形,区域②和③是矩形,且AG∶BG=3∶2.设BG的长为2x米.
(1)用含x的代数式表示DF=　　　　米;
(2)当x为何值时,区域③的面积为180平方米
(3)当x为何值时,区域③的面积最大,最大面积是多少
知识点3　其他最大化问题
7.[2020·连云港] 加工爆米花时,爆开且不煳的米粒所占的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为
　　　　min.
8.[2021·连云港海州区期末] 王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式,跳跃路线正好和抛物线y=-x2+x+1相吻合(单位:m),那么他能跳过的最大高度为　　　　m.
9.[2020·南京] 小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时,小丽、小明离B地的距离分别为y1 m,y2 m.y1与x之间的函数表达式是y1=-180x+2250,y2与x之间的函数表达式是y2=-10x2-100x+2000.
(1)小丽出发时,小明离A地的距离为　　　　m;
(2)从小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近 最近距离是多少
10.[2020·苏州吴江区期末] 某果农在其承包的果园中种植了60棵橘子树,每棵橘子树的产量是100 kg,果农想增加橘子树的棵数来增产,但增加果树会导致每棵树的光照减少,使得单棵果树产量减少,试验发现每增加1棵橘子树,单棵橘子树的产量就减少0.5 kg.
(1)在投入成本最低的情况下,增加多少棵橘子树,可以使果园总产量达到6650 kg
(2)设增加a棵橘子树,考虑实际增加橘子树的情况,10≤a≤40,请你计算一下,果园橘子的总产量最多为多少千克,最少为多少千克
11.[2021·扬州宝应县期末] 2020年是极不平凡的一年.面对突如其来的疫情,我国政府始终践行人民至上的理念,各地各校按照上级部署实行常态化严防严控,严格落实进校测体温的要求.为了解学生进校测体温的工作情况,统计了一天上午学生进入学校的累计人数y(人)与时间x(分)的变化情况,数据如下表(表中8~12表示8时间x(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8~12
人数y(人) 0 150 280 390 480 550 600 630 640 640
(1)根据这12分钟内学生进入学校的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数表达式,并说明理由.
(2)如果学生一进学校就开始测量体温,测温点有2个,每个测温点每分钟检测20人,学生按要求排队测温.
①求排队人数最多时有多少人
②根据疫情防控要求,要保证在8分钟时没有人排队等候,则从一开始就应该至少增加几个测温点
答案
5.5　第1课时　利用二次函数解决最值问题
1.C
2.50　300　 设商场销售该种服装每天的利润为y元,
则y=(x-40)(180-3x)=-3x2+300x-7200=-3(x-50)2+300,即当每件的销售价为50元时,才能使每天的利润最大,最大为300元.
3.解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将表中数据(55,70),(60,60)代入,得
解得
∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+180.
(2)由题意,得(x-50)(-2x+180)=600,
整理得x2-140x+4800=0,
解得x1=60,x2=80.
答:为保证某天获得600元的销售利润,则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克.
(3)设当天的销售利润为w元,则w=(x-50)(-2x+180)=-2(x-70)2+800.
∵-2<0,∴当x=70时,w最大值=800.
答:当销售单价定为70元/千克时,才能使当天的销售利润最大,最大利润是800元.
4.C　 由题意,得S=x(10-x).故选C.
5.S=-2x2+10x　　　 由题意,知平行于墙的一边长为(10-2x)米,则S=x(10-2x)=
-2x-2+(06.解:(1)∵AG∶BG=3∶2,BG的长为2x米,
∴AG=3x米.
∵区域①是正方形,区域②和③是矩形,
∴AF=GH=BE=FH=AG=3x米,
EH=BG=2x米,DC=FE=AB=5x米,
∴DF=(96-3×5x-3×3x)=(48-12x)米.
故答案为(48-12x).
(2)根据题意,得5x(48-12x)=180,
解得x1=1,x2=3.
答:当x为1或3时,区域③的面积为180平方米.
(3)设区域③的面积为S平方米,
则S=5x(48-12x)
=-60x2+240x
=-60(x-2)2+240.
∵-60<0,
∴当x=2时,S有最大值,最大值为240.
答:当x为2时,区域③的面积最大,最大面积是240平方米.
7.3.75　 根据题意,知当x=-=3.75时,y取得最大值,故最佳加工时间为3.75 min.
8.　 根据顶点坐标公式,抛物线y=-x2+x+1的顶点纵坐标是y==,即他能跳过的最大高度为 m.
9.解:(1)∵y1=-180x+2250,y2=-10x2-100x+2000,
∴当x=0时,y1=2250,y2=2000,
∴小丽出发时,小明离A地的距离为2250-2000=250(m).故答案为250.
(2)设小丽出发第x min时,两人相距s m,则
s=(-180x+2250x2-100x+2000)=10x2-80x+250=10(x-4)2+90(0≤x≤10),
∴当x=4时,s取得最小值,此时s=90.
答:小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m.
10.解:(1)设增加x棵橘子树.
由题意得(60+x)(100-0.5x)=6650,
解得x1=10,x2=130.
∵成本最低,∴x=10.
答:增加10棵橘子树,可以使果园总产量达到6650 kg.
(2)设果园橘子的总产量为W,则W=(60+a)(100-0.5a)=-0.5a2+70a+6000=-0.5×(a-70)2+8450,
∵10≤a≤40,
∴当a=10时,Wmin=6650,
当a=40时,Wmax=8000,
答:果园橘子的总产量最多为8000 kg,最少为6650 kg.
11.解:(1)当0≤x≤8时,y与x之间的函数表达式为y=-10x2+160x,当8理由:由表格知,当x=1时,y=150+10×0×14,
当x=2时,y=280=150+10×1×13,
当x=3时,y=390=150+10×2×12,
当x=4时,y=480=150+10×3×11,
当x=5时,y=550=150+10×4×10,
当x=6时,y=600=150+10×5×9,
当x=7时,y=630=150+10×6×8,
当x=8时,y=640=150+10×7×7,
∴y与x之间的函数表达式为y=150+10(x-1)(15-x)=-10x2+160x,当x=0时,y=0,也符合此表达式,
∴当0≤x≤8时,y=-10x2+160x.
由表格可知,当8(2)①根据题意,知排队测体温的人数为y-2×20x.
当0≤x≤8时,y-2×20x
=(-10x2+160x)-40x
=-10x2+120x
=-10(x2-12x)
=-10(x-6)2+360,
∴当x=6时,排队人数最多,为360人;
当8∴排队人数<640-40×8=320.
综上,排队人数最多时有360人.
②设增加m个测温点,
根据题意,知8×20(m+2)≥640,
∴m≥2,
∴要保证在8分钟时没有人排队等候,从一开始就应该至少增加2个测温点.