苏科版数学九年级下册 5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 同步课时练习（word版 含解析）

5.3　用待定系数法确定二次函数表达式
知识点 1　用一般式求二次函数的表达式
1.[教材例2变式] [2020·盐城大丰区期末] 已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2,9)和(-1,3),则a,c的值分别为 (　　)
A.2,1 B.2,-1 C.2,2 D.2,-2
2.如图示的抛物线是关于x的二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像,那么a的值是(　　)
A.2 B.-2 C.- D.±2
3.已知二次函数的图像如图示,则这个二次函数的表达式为 (　　)
A.y=x2-2x+3 B.y=xC.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+3
4.[教材习题5.3第1题变式] [2020·扬州宝应模拟] 已知二次函数y=ax2+bx+1的图像经过点(1,3)和点(-1,1),则a+2b=　　　　.
5.已知抛物线的对称轴是y轴,且经过点(1,3),(2,6),则该抛物线的函数表达式为____________
　　　　　　　.
6.[教材例3变式] 已知二次函数的图像经过点(0,3),(-3,0),(2,-5).
(1)试确定此二次函数的表达式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图像上.
7.[2020·江西节选] 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … m 0 -3 n -3 …
(1)根据以上信息,可知抛物线开口向　　　　,对称轴为　　　　;
(2)求抛物线的表达式及m,n的值.
知识点 2　用顶点式求二次函数的表达式
8.已知一个二次函数的图像的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为(　　)
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=-2(x-2)2+4 C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2-4
9.[2020·盐城射阳县月考] 已知二次函数图像的顶点坐标是(2,-1),形状与抛物线y=2x2相同且开口方向向下,则这个二次函数的表达式是　 .
10.已知点(0,3)在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,且当x=1时,函数y有最小值2.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)如果两个不同的点C(m,6),D(n,6)都在这个函数的图像上,求m+n的值.
11.[2020·杭州] 设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,则下列说法正确的是 (　　)
A.若h=4,则a<0 B.若h=5,则a>0
C.若h=6,则a<0 D.若h=7,则a>0
12.把抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到的新抛物线的顶点坐标为A(1,-4),且经过点(2,-3),则原抛物线的函数表达式为　　　　　　　.
13.若二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,则此函数的表达式为　 .
14.[2020·昆山模拟] 如图已知抛物线经过点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若P是抛物线上点A,B之间的动点(不包括点A,B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
15.[2020·盐城] 如图若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0(1)抛物线的开口向　　　　(填“上”或“下”);
(2)求直线l对应的函数表达式;
(3)求该二次函数的表达式.
答案
5.3　用待定系数法确定二次函数表达式
1.A　 把(-2,9),(-1,3)代入y=ax2+c,得解得
2.B　 根据图示知,二次函数y=ax2+5x+4-a2的图像经过原点(0,0),∴0=4-a2,解得a=±2.
又∵该函数图像的开口向下,
∴a<0,∴a=-2.故选B.
3.B　 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
∵抛物线过点(-1,0),(3,0),(0,-3),
∴解得
∴这个二次函数的表达式为y=x
故选B.
4.3　 把(1,3),(-1,1)代入y=ax2+bx+1,得解得
∴a+2b=1+2=3.
5.y=x2+2　 ∵抛物线的对称轴是y轴,
∴设此抛物线的表达式是y=ax2+c,
把点(1,3),(2,6)代入得
解得
则此抛物线的表达式是y=x2+2.
6.解:(1)设此二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将(0,3),(-3,0),(2,-5)代入y=ax2+bx+c,
得解得
∴此二次函数的表达式是y+3.
(2)当x=-2时,y2-2×(-2)+3=3,
∴点P(-2,3)在这个二次函数的图像上.
7.解:(1)根据表格信息,可知抛物线开口向上,对称轴为直线x=1.故答案为上,直线x=1.
(2)把(-1,0),(0,-3),(2,-3)代入y=ax2+bx+c,得
解得
∴抛物线的表达式为y=x
当x=-2时,m=4+4-3=5;
当x=1时,n=-4.
8.B　 设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4,则-4=(-2)2a+4,解得a=-2.故这个二次函数的表达式为y=-2(x-2)2+4.
9.y=-2(x-2)2-1
10.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,函数y有最小值2,
∴点(1,2)为二次函数图像的顶点,则二次函数的表达式可写为y=a(x-1)2+2.
把(0,3)代入,得a+2=3,
∴a=1,
∴二次函数的表达式为y=(x-1)2+2,
即y=x2-2x+3.
(2)∵点C(m,6),D(n,6)都在这个二次函数的图像上,
∴点C,D关于这个二次函数图像的对称轴(直线x=1)对称,
∴=1,∴m+n=2.
11.C　 当x=1时,y=1;当x=8时,y=8,
代入表达式得
∴a(8-h)2-a(1-h)2=7,
整理得a(9-2h)=1.
若h=4,则a=1,故A错误;
若h=5,则a=-1,故B错误;
若h=6,则a=-,故C正确;
若h=7,则a=-,故D错误.故选C.
12.y=(x-3)2-1　 设新抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2-4.
∵该抛物线经过点(2,-3),
∴-3=(2-1)2a-4,∴a=1,
∴新抛物线的函数表达式为y=(x-1)2-4,
∴原抛物线的函数表达式为y=(x-3)2-1.
13.y+3　 ∵二次函数的图像过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,
∴顶点的横坐标为-1,即顶点坐标为(-1,4).
设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)2+4.
将x=1,y=0代入,得a=-1,
则抛物线的函数表达式为y=-(x+1)2+4,
即y+3.
14.解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
∵抛物线的对称轴是直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a,
∴抛物线的表达式为y=ax2+2ax+c.
把A(-3,0),B(0,3)代入,
得解得
∴抛物线的表达式为y+3.
(2)设直线AB的表达式为y=kx+m.
∵A(-3,0),B(0,3),
∴解得
∴直线AB的表达式为y=x+3.
如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交直线AB于点M.
设P(x+3),△PAB的面积为S,则M(x,x+3),
∴PM+3-(x+3),
∴S=)×3=-x+2+.
当x=-时,S最大=,y=--2-2×-+3=,
∴△PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标为-,.
15.解:(1)上
(2)①若∠ACN=90°,则点C与点O重合,此时直线l与抛物线只有一个交点A,不合题意,舍去.
②若∠ANC=90°,则点C不在x轴上,不合题意,舍去.
③若∠CAN=90°,如图所示,则∠ACN=∠ANC=45°,AO=CO=NO=2,
∴C(-2,0),N(2,0).
设直线l对应的函数表达式为y=kx+m.将A(0,2),C(-2,0)代入,得
解得
∴直线l对应的函数表达式为y=x+2.
(3)如图,过点B作BH⊥x轴于点H,
则S1=MN·OA,S2=MN·BH.
∵S2=S1,∴BH=OA.
∵OA=2,∴BH=5,
∴点B的纵坐标为5.
将y=5代入y=x+2,得x=3,
∴B(3,5).
将A,B,N三点的坐标代入y=ax2+bx+c,得解得
∴二次函数的表达式为y=2x2-5x+2.