苏科版数学九年级下册 6. 4 第3课时 利用两边及夹角证相似 同步课时练习（word版 含解析）

第3课时　利用两边及夹角证相似
知识点 1　判定两个三角形相似
1.[教材练习第2题变式] 如图,已知∠1=∠2,要使△ABC∽△ADE,还需要增加一个条件,则下列添加条件中不正确的是 (　　)
A.∠D=∠B B.= C.= D.∠AED=∠C
2.[2020·南通崇川区模拟] 如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=9,将△ABC沿图中的线段剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　)
图 3.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,F为BC边上一点,添加一个条件:　　　　　　　　,使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,D,E分别在AB,AC上,BD=2,CE=5.求证:△AED∽
△ABC.
5.如图,在矩形ABCD中,AB∶BC=1∶2,点E在AD上,且ED=3AE.判断△ABC与△EAB是否相似,并说明理由.
知识点 2　判定两个三角形相似的运用
6.[2020·南京高淳区期末] 如图,AD,BC相交于点O,且=,∠D=25°,∠A=65°,则
∠COD的度数是 (　　)
A.25° B.65° C.90° D.100°
7.如图,在△ABC中,D为AB上一点,AB=9,AC=6,AD=4,则=　　　　.
8.图是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A,D两个端点之间的距离为
5 cm,==.求容器内径BC的长.
9.如图,在5×6的方格纸中有格点三角形EFG,下列选项中的格点,与E,G两点构成的三角形和△EFG相似的是 (　　)
A.点A 　　B.点B C.点C 　　D.点D
10.[2020·无锡新吴区期中] 在△ABC中,AB=10,AC=6,点D在线段AC上,且AD=3,若要在AB上找一个点E,使△ADE与△ABC相似,则AE=　　　　.
11.如图,在△ABC中,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为F,E,连接EF.
求证:(1)△BAF∽△BCE;
(2)△BEF∽△BCA.
12.已知:如图,△ABC与△ADE均为等腰三角形,BA=BC,DA=DE,如果点D在BC上,且∠EDC=∠BAD,O为AC与DE的交点,连接CE.
求证:(1)△ABC∽△ADE;
(2)DA·OE=OA·CE.
13.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,AG与线段DE,BC分别交于点F,G,且=.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若=,求的值.
14.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,P为BC的中点,小明拿着含45°角的透明三角尺,使45°角的顶点落在点P,且绕点P旋转.
(1)如图①,当三角尺的两边分别交AB,AC于点E,F时,求证:△BPE∽△CFP;
(2)将三角尺绕点P旋转到图②,三角尺两边分别交BA的延长线和边AC于点E,F.
探究1:△BPE与△CFP还相似吗 (只需写结论)
探究2:连接EF,△BPE与△EFP是否相似 请说明理由.
答案
第3课时　利用两边及夹角证相似
1.C　
2.B　 选项B中,∵=≠,∴阴影三角形与原三角形不相似.故选B.
3.答案不唯一,如:DF∥AC,∠DFB=∠A,∠BDF=∠ADE等
∵AC=3AD,AB=3AE,
∴==.
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴∠AED=∠B,
要使△FDB与△ADE相似,则还需一组角相等,如添加条件∠A=∠BDF,∠A=∠DFB,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,当然也可添加DF∥AC,若使用比例当作条件可添加:=,=.
4.证明:∵AB=6,BD=2,
∴AD=4.
∵AC=8,CE=5,
∴AE=3,
∴==,==,
∴=.
又∵∠EAD=∠BAC,∴△AED∽△ABC.
5.解:△ABC∽△EAB.理由:
∵AB∶BC=1∶2,
∴可设AB=k,BC=2k.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=2k,∠ABC=∠BAD=90°.
∵ED=3AE,∴AE=AD=k.
∵=2,=2,∴=.
又∵∠ABC=∠EAB=90°,
∴△ABC∽△EAB.
6.C　 由=,可得=.又∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,∴∠C=∠A=65°,∴∠COD=180°-25°-65°=90°.故选C.
7.　 ∵AB=9,AC=6,AD=4,
∴==,==,
∴=.
又∵∠BAC=∠CAD,∴△ABC∽△ACD,
∴==.
8.解:在△AOD与△BOC中,
∵∠AOD=∠BOC,=,
∴△AOD∽△BOC,
∴==,即=,
∴BC=2×5=10(cm),
∴容器内径BC的长为10 cm.
9.D　
10.5或　 ∵∠A是公共角,∴当=,即=时,△ADE∽△ACB,解得AE=5;当=,即=时,△ADE∽△ABC,解得AE=.故答案为5或.
11.证明:(1)∵AF⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AFB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△BAF∽△BCE.
(2)∵△BAF∽△BCE,
∴=,
∴=.
又∵∠B=∠B,
∴△BEF∽△BCA.
12.证明:(1)∵BA=BC,DA=DE,
∴==1,∴=.
∵∠EDC=∠BAD,∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDC,
∴∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.
(2)∵△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE=∠CDE.
又∵∠COD=∠EOA,
∴△COD∽△EOA,
∴=,∴=.
又∵∠AOD=∠EOC,
∴△AOD∽△EOC,∴=,
即DA·OE=OA·CE.
13.解:(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,∴∠ADE=∠C.
又∵=,
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG,
∴==,
∴=1.
14.解:(1)证明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,
∴∠BPE+∠BEP=135°.
∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,
∴∠BPE+∠CPF=135°,
∴∠BEP=∠CPF.
又∵∠B=∠C,
∴△BPE∽△CFP.
(2)探究1:△BPE与△CFP还相似.
探究2:△BPE与△EFP相似.
理由:∵△BPE∽△CFP,∴=.
又∵P为BC的中点,∴CP=BP,
∴=,∴=.
又∵∠B=∠EPF=45°,∴△BEP∽△PEF.