苏科版九年级下册同步课时练习：6.4第4课时利用三边证相似（Word版 含解析）

第4课时　利用三边证相似
知识点 1　判定两个三角形相似
1.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 (　　)
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
2.在△ABC中,AB∶BC∶CA=2∶3∶4,在△A'B'C'中,A'B'=1,C'A'=2,当B'C'=　　　时,△ABC∽△A'B'C'.
3.[2021·镇江期末节选] 如图,已知=.添加条件:
(写出一个即可),可得△ABC∽△ADE.
4.已知一个三角形的三边长分别是6 cm,7.5 cm,9 cm,另一个三角形的三边长分别是8 cm,
10 cm,12 cm,则这两个三角形　　　　(填“相似”或“不相似”).
5.根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1)∠A=80°,AB=10,AC=20,∠A'=80°,A'B'=4,A'C'=6;
(2)AB=5,BC=6,AC=7,A'B'=15,B'C'=18,A'C'=21.
6.如图,网格中每个方格都是边长为1的小正方形.若A,B,C,D,E,F都是小正方形的格点.
求证:△ABC∽△DEF.
知识点 2　判定两个三角形相似的运用
7.若△ABC的每条边长都增加各自的10%得到△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比 (　　)
A.增加了10% 　　 B.减少了10%
C.增加了(1+10%) 　　 D.没有改变
8.[教材练习第3题变式] 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且==.
(1)∠BAE与∠CAD相等吗 为什么
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
9.如图,在正方形网格中画有梯形ABCD,则∠BDC的度数为 (　　)
A.120° B.130° C.135° D.140°
10.[2020·北京西城区期中] 一个铝质三角形框架的三条边长分别为4 cm,5 cm,6 cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为3 cm,6 cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,则截法有 (　　)
A.0种 B.1种 C.2种 D.3种
11.已知在△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6.
(1)如果DE=10,那么当EF=　　　,FD=　　　时,△DEF∽△ABC;
(2)如果DE=10,那么当EF=　　　,FD=　　　时,△FDE∽△ABC.
12.如图,O是△ABC内一点,D,E,F分别为OA,OB,OC上的点,且==.
求证:△DEF∽△ABC.
13.[2020·南京改编] 如图,在△ABC和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点,=,且==.求证:△ABC∽△A'B'C'.
14.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连接相应的线段,不必说明理由)
答案
第4课时　利用三边证相似
1.B　 设各个小正方形的边长均为1.“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2,2,4;“车”“炮”之间的距离为1,“炮”②之间的距离为,“车”②之间的距离为2.∵==,∴马应该落在②的位置.故选B.
2.1.5　 要使△ABC∽△A'B'C',就需要AB∶BC∶CA=A'B'∶B'C'∶C'A',从而求得B'C'=1.5.
3.答案不唯一.如:=或=或∠BAC=∠DAE等
4.相似
5.解:(1)不相似.因为∠A=∠A',==,==,所以≠,所以△ABC与△A'B'C'不相似.
(2)相似.因为==,==,==,所以==.
因为△ABC与△A'B'C'的三条边对应成比例,
所以△ABC∽△A'B'C'.
6.证明:由图示及勾股定理,得
AC=,BC=,AB=4,DF=2,EF=2,DE=8,
∴===,∴△ABC∽△DEF.
7.D　 ∵A'B'=1.1AB,A'C'=1.1AC,B'C'=1.1BC,∴===1.1,∴△A'B'C'∽△ABC,
∴∠B'=∠B.故选D.
8.解:(1)∠BAE与∠CAD相等.
理由:∵==,∴△ABC∽△AED,
∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD.
(2)△ABE与△ACD相似.
理由:∵=,∴=.
又∵∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ACD.
9.C　 设正方形网格中的小正方形的边长为1,如图.
根据题意,得△ABE是等腰直角三角形,
AB==,AD=1,BD==,CD==,BC=5,
∴∠BAE=45°,==,==,=,
∴==,
∴△ABD∽△DCB,∴∠BAD=∠BDC.
又∵∠BAD=180°-∠BAE=180°-45°=135°,
∴∠BDC=135°.故选C.
10.C　 ∵两根铝材的长分别为3 cm,6 cm,若长为6 cm的铝材为三角形框架的一边,则另两边长的和最大为3 cm,∵3<6,∴不能构成三角形,∴必须以3 cm长的铝材为三角形框架的一边,将6 cm长的铝材截成两段.
设三角形框架的另外两边长分别为x cm,y cm(x(1)若x≥3,则==,解得x=3.75,y=4.5.
∵x+y=3.75+4.5=8.25>6,∴此种情况不成立;
(2)若0∵x+y=2.4+3.6=6,∴此种情况成立;
(3)若x解得x=2,y=2.5.
∵x+y=2+2.5=4.5<6,∴此种情况成立.
故有两种截法.故选C.
11.(1)　15　(2)12　8
本题考查相似三角形顶点和边的对应关系.△DEF∽△ABC意味着==,△FDE∽△ABC意味着==.
12.证明:∵=,∠DOE=∠AOB,
∴△ODE∽△OAB,∴=.
同理=,=.
∵=,∴==,
∴△DEF∽△ABC.
13.证明:∵=,∴=.
∵==,
∴==,
∴△ADC∽△A'D'C',∴∠A=∠A'.
∵=,
∴△ABC∽△A'B'C'.
14. 要判定两个三角形相似,要么找到两个角相等,要么说明两边对应成比例及其夹角相等,要么说明各对应边的比值相等.作一个三角形与已知三角形相似也用同样的办法.
解:(1)△ABC和△DEF相似.
理由:由题意可得AB=2,AC=,BC=5,DE=4,DF=2,EF=2.
∵===,
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一,写出下面6个三角形中的任意2个均可,如图.
△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,
△P4P5D,△P2P4P5,△P1FD.