苏科版数学九年级下册 7.2 第1课时 正弦、余弦 同步课时练习（word版 含解析）

7.2　第1课时　正弦、余弦
知识点 1　正弦、余弦的定义
1.[2020·海安期末] 如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则cosB的值为 (　　)
A. B. C. D.
2.[2020·杭州] 如图在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则(　　)
A.c=bsinB B.b=csinB C.a=btanB D.b=ctanB
3.[2021·苏州期末] 如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=24,sinA=,则BC=　　　　.
4.[教材练习第2题变式] [2020·盐城响水县期末] 求图各直角三角形锐角的正弦、余弦值.
5.[教材例1变式] [2020·淮安淮阴区期末] 如图在△ABC中,AB=AC=2BC,AD⊥BC,垂足为D.求sin∠BAD的值.
6.如图在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA=,求sinB+cosB的值.
知识点 2　正弦值和余弦值的增减性
7.[2021·南京六合区一模] 在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则下列选项正确的是 (　　)
A.sinA8.比较大小:
(1)sin20°　　　　sin21°; (2)cos20°　　　　cos21°.
知识点 3　用计算器求正弦值和余弦值
9.用计算器求下列各值(精确到0.01):
(1)sin24°≈　　　　;(2)sin68.25°≈　　　　;
(3)cos54°≈　　　　;(4)cos38°36'≈　　　　.
10.[2020·泰州高港区期末] 如图在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点O,则下列线段的比不能表示sinA的是 (　　)
A. B. C. D.
11.[2020·南充] 如图点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC等于 (　　)
A. B. C. D.
图 12.如图示,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径.若☉O的半径为,AC=2,则sinB的值是 (　　)
A. B. C. D.
13.[2020·南通崇川区模拟] 在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=　　　　.
14.[2020·苏州] 如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.设OA=10,DE=12,则sin∠MON=　　　　.
15.[2020·太仓期中] 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=4,AD=12,sinB=.
求:(1)线段CD的长;
(2)sin∠BAC的值.
16.如图所示,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=,求cos∠BAO的值.
17.把(sinα)2记作sin2α,根据图①和图②完成下列各题.
(1)sin2A1+cos2A1=　　　　,sin2A2+cos2A2=　　　　,sin2A3+cos2A3=　　　　;
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=　　　　;
(3)如图②,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想;
(4)已知在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sinA=,求cosA的值.
答案
7.2　第1课时　正弦、余弦
1.B　 在Rt△ABC中,BC==12,∴cosB==.故选B.
2.B　 由sinB=,可得b=csinB,故A选项不成立,B选项成立;由tanB=,可得b=atanB,故C,D选项不成立.
3.10　 设BC=5x.∵sinA==,∴AB=13x.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,即(13x)2=242+(5x)2,
解得x=2(负值已舍去),则BC=5x=10.
4.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得BC===5,
所以sinA==,cosA==,
sinB==,cosB==.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得
AB===,
所以sinA==,cosA==,
sinB==,cosB==.
5.解:∵AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,
∴BD=BC.
∵AB=2BC,∴BD=AB,
∴sin∠BAD==.
6.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.
在Rt△ACD中,CD=6,tanA==,
∴AD=4,∴BD=AB-AD=12-4=8.
在Rt△BCD中,BC===10,
∴sinB==,cosB==,
∴sinB+cosB=.
7.B　 设∠A,∠B,∠C对应的边为a,b,c.
∵∠A>∠B,∴a>b.
∵sinA=,sinB=,cosA=,cosB=,tanA=,tanB=,
∴sinA>sinB,cosAcosA,tanA>tanB.故选B.
8.(1)<　(2)>　 可以用计算器求解,也可以根据正弦值、余弦值的变化规律解题.
[点评] 同名函数比较大小有以下两种方法:方法一,用计算器求出它们的函数值进行比较;方法二,根据锐角三角函数的变化情况进行比较.
若0°<α<90°,0°<β<90°,则当α>β时,sinα>sinβ,cosα当α=β时,sinα=sinβ,cosα=cosβ;当α<β时,sinαcosβ.
9.(1)0.41　(2)0.93　(3)0.59　(4)0.78
10.C　 由题意易得,sinA==.由题意,得∠A+∠ABD=90°,∠ABD+∠EOB=90°,
所以∠A=∠EOB.又因为∠EOB=∠DOC,所以∠A=∠EOB=∠DOC,所以sinA=
sin∠DOC=;sinA=sin∠EOB=.
11.B　 如图,过点B作BD⊥AC于点D,则∠ADB=90°.
设每个小正方形方格的边长都为1.
根据勾股定理易得AB=,BD=,
∴在Rt△ABD中,sin∠BAC===.
故选B.
12.A
13.或　 由题意,得∠C≠90°.若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,利用勾股定理计算出BC=x,然后根据余弦的定义求cosC的值;若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,利用勾股定理计算出BC=x,然后根据余弦的定义求cosC的值.
14.　 如图,连接BD,作DF⊥ON于点F.
由尺规作图知∠AOD=∠BOD,OA=OB,易得△AOD≌△BOD,
∴AD=BD.
∵AD∥OB,∴∠ADO=∠BOD,
∴∠ADO=∠AOD,
∴AD=OA=OB=BD=10,
∴∠BDO=∠BOD.
∵DE⊥OD,∴∠ODB+∠BDE=90°,∠BOD+∠BED=90°,
∴∠BDE=∠BED,
∴BD=BE=10.
设BF=x,则EF=10-x.
∵BD2-BF2=DE2-EF2,
∴102-x2=122-(10-x)2,解得x=2.8,
由勾股定理得DF=9.6,
∴sin∠MON=sin∠DBF===.
15.解:(1)∵AD是BC边上的高,
∴∠D=90°.
在Rt△ABD中,∵sinB=,
∴=.
又∵AD=12,∴AB=15,
∴BD===9.
又∵BC=4,
∴CD=BD-BC=9-4=5.
故线段CD的长为5.
(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
∵S△ABC=BC·AD=AB·CE,
∴×4×12=×15×CE,
∴CE=.
在Rt△AEC中,∴sin∠BAC===.
故sin∠BAC的值为.
16. 作BC⊥x轴,垂足为C,由sin∠BOA的值求出BC的长,在Rt△BOC中,根据勾股定理求出OC的长,进而求出AC的长,在Rt△ABC中,再由勾股定理求出AB的长,最后根据锐角三角函数的定义求出cos∠BAO的值即可.
解:过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
∵sin∠BOA==,BO=5,
∴BC=3.
在Rt△BOC中,由勾股定理得OC=4.
∵点A的坐标为(10,0),
∴OA=10,∴AC=6,
∴AB===3,
∴cos∠BAO==.
17. (1)sin2A1+cos2A1=2+2=+=1,sin2A2+cos2A2=
2+2=+=1,sin2A3+cos2A3=2+2=+=1.
解:(1)1　1　1　
(2)1
(3)证明:∵sinA=,cosA=,且a2+b2=c2,
∴sin2A+cos2A=2+2===1,即sin2A+cos2A=1.
(4)∵在△ABC中,∠A+∠B=90°,
∴∠C=90°,
∴sin2A+cos2A=1,即2+cosA2=1,
解得cosA=或cosA=-(舍去),
∴cosA===.