苏科版数学九年级下册 6.5 第2课时　相似三角形的高、中线、角平分线的性质 同步课时练习（word版 含解析）

第2课时　相似三角形的高、中线、角平分线的性质　
知识点　相似三角形对应线段的比
1.[2021·南京江宁区期末] 若△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,则△ABC与△DEF的相似比为 (　　)
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.16∶81
2.[2020·丹阳期末] 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 (　　)
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
3.[2021·南京期末] 如图△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线.求证:AD∶A'D'=AB∶A'B'.
4.[2020·苏州相城区期末] 如图在△ABC中,E,G分别是AB,AC上的点,∠AEG=∠C,
∠BAC的平分线AD交BC于点D,交EG于点F.若=,则 (　　)
A.= B.= C.= D.=
5.如图将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影三角形的面积为9.若AA'=1,则A'D的长为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.
6.已知锐角三角形ABC中,边BC的长为12,高AD的长为8.
(1)如图矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.
①求的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求S的最大值.
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点M,N在△ABC的一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
答案
第2课时　相似三角形的高、中线、角平分线的性质
1.C　 ∵△ABC∽△DEF,且对应高线的比为4∶9,∴△ABC与△DEF的相似比为4∶9.故选C.
2.C　 由题意,得△ABC与△A'B'C'的周长比===.故选C.
3.证明:∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,
∴BD=BC,B'D'=B'C'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B',===,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴AD∶A'D'=AB∶A'B'.
4.C　 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵=,∴=.
∵∠AEG=∠C,∠EAF=∠CAD,∴△AEF∽△ACD,
∴==.故选C.
5.B　 如图,设A'B',A'C'分别交BC于点M,N.由平移可得,△ABC∽△A'MN,设它们的相似比为k.
∵S△ABC=16,S△A'MN=9,
∴k2=16∶9,∴k=4∶3.
∵AD和A'D分别为△ABC和△A'MN的中线,
∴AD∶A'D=k=4∶3,
∴AA'∶A'D=1∶3.
又∵AA'=1,∴A'D=3.故选B.
6.解:(1)①∵四边形EFGH为矩形,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC,EF∥BC,∴AK⊥EF,
∴=,∴===.
②∵EH=x,∴KD=x,
∴AK=AD-KD=8-x.
由(1)知EF=AK=(8-x),
∴S=EH·EF=-x2+12x=-(x-4)2+24(0∴当x=4时,S最大值=24.
(2)①当正方形PQMN的两个顶点M,N在BC边上,点P在AB边上,点Q在AC边上时,设PQ交AD于点K,如图①.
设正方形PQMN的边长为m,
则KD=PN=m,AK=AD-KD=8-m.
∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC.
∵AD⊥BC,PQ∥BC,∴AK⊥PQ,
∴=,即=,解得m=.
②当正方形PQMN的两个顶点M,N在AB边上,点P在AC边上,点Q在BC边上时,过点C作AB边上的高CI交PQ于点E,如图②.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=6.
由勾股定理,得AB===10.
∵S△ABC=AD·BC=CI·AB,
∴CI==9.6.
设正方形PQMN的边长为n,
则EI=PN=n,CE=CI-EI=9.6-n.
∵PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC.
∵CI⊥AB,PQ∥AB,∴CE⊥PQ,
∴=,即=,解得n=.
综上所述,正方形PQMN的边长为或.