苏科版数学九年级下册同步课时练习：7.5构造直角三角形解题（第2课时）（word版含答案）

第2课时　构造直角三角形解题
知识点　构造直角三角形解题
1.[2021·靖江月考] 如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(a,3),且OP与x轴的夹角α的正切值是,则sinα的值为 (　　)
A. B. C. D.
2.[2020·聊城] 如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB的值为 (　　)
A. B. C. D.
图 3.[2020·宿迁沭阳县期末] 如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则sinB等于(　　)
A. B. C. D.
4.如图,将宽为1 cm的纸条沿BC折叠,使∠CAB=45°,则折叠后重叠部分的面积为(　　)
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
5.[2020·苏州吴江区期末] 如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=4,BC=6,则△ABC的面积是　　　　.
6.[2020·常州武进区期末] 如图,在△ABC中,∠A=30°,AB=2,AC=6,则BC的长为　　　　.
7.[2020·扬州江都区模拟] 如图,半径为3的☉A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧☉A优弧上的一点,则cos∠OBC=　　　　.
8.[2020·盐城盐都区模拟] 如图,已知在△ABC中,AB=AC=5,cosA=.求底边BC的长.
9.如图,在△ABC中,BC=AC,∠BCA=135°,求tanA的值.
10.如图是墙壁上在l1,l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖,该瓷砖与平行线的较大夹角的度数为α,则两条平行线间的距离为 (　　)
A.asinα B.asinα+acosα C.2acosα D.asinα-acosα
11.[2021·溧阳期末] 如图,在2×4的网格中,两条线段的夹角(锐角)为∠1,则sin∠1=
　　　　.
12.[2020·连云港海州区模拟] 如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是　 .
13.[2021·泰兴期末] 在△ABC中,∠B=30°,AB=4,AC=,则BC的长为　　　　.
14.[2020·泰州高港区模拟] 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,AB∶BD=.
(1)求tan∠DAC的值;
(2)若BD=4,求△ABC的面积.
15.[2021·南京鼓楼区月考] 如图,△ABC是等边三角形,AB=6,过点C的☉O分别交AC,BC于点D,E,且CD=BE,求OC的最小值.
16.[2020·常州期末] 图①是放置在水平面上的可折叠式护眼灯,其中底座的高AB=
2 cm,连杆BC=40 cm,灯罩CD=34 cm.
(1)转动BC,CD,使得∠BCD成平角,且∠ABC=150°,如图②,则灯罩端点D离桌面l的高度DH是　　　　cm;
(2)将图②中的灯罩CD再绕点C顺时针旋转,使∠BCD=150°,如图③,求此时灯罩端点D离桌面l的高度DI.
答案
第2课时　构造直角三角形解题
1.A　 过点P作PE⊥x轴于点E,如图所示.
∵P(a,3),∴OE=a,PE=3.
∵tanα==,
∴a=4,∴OP===5,
∴sinα==.
故选A.
2.D　 如图,过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中,∵AH=4,CH=3,
∴AC===5,
∴sin∠ACH==.故选D.
3.A　 如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=BC=6,
∴AD===8,
∴sinB===.故选A.
4.D　 如图,∵CE∥AB,∴∠ECB=∠ABC.
∵∠ECB=∠ACB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB.
过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD=1.
∵sinA=,∴AC===AB,∴S△ABC=·AB·CD=,
∴折叠后重叠部分的面积为 cm2.
故选D.
5.6　 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,∠B=45°,AB=4,
∴AD=AB·sinB=2,∴S△ABC=BC·AD=6.
6.2　 过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,如图所示,则∠ADC=∠BDC=90°.∵∠A=30°,AC=6,∴CD=AC=3,∴AD==3.∵AB=2,∴BD=AD-AB=,
∴BC===2.
7.　 如图,设☉A与x轴的另一交点为D,连接CD.
∵∠COD=90°,
∴CD是☉A的直径.
在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,
则OD==4,
∴cos∠CDO===.由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,则cos∠OBC=.
8.解:如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D.
在Rt△ABD中,cosA=.
∵cosA=,AB=5,
∴AD=AB·cosA=5×=3,
∴BD==4.
∵AC=5,∴CD=2,
∴BC==2.
9.解:如图,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D,则∠BDC=90°.
∵∠BCA=135°,∴∠BCD=45°,
∴∠DBC=45°,
∴BD=CD=BC.
又∵BC=AC,∴AC=BD=CD.
设AC=BD=CD=k,则AD=2k,
∴tanA==.
10.B　 如图,过点B作EF⊥l1于点E,EF与l2交于点F,则EF⊥l2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=a,∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CBF.
又∵∠AEB=∠BFC=90°,
∴△ABE≌△BCF(AAS),∴BE=CF.
在Rt△BCF中,BF=a·sinα,CF=a·cosα,
∴BE=a·cosα,∴EF=BF+BE=asinα+acosα,
即两条平行线间的距离为asinα+acosα.
故选B.
11.　 如图,过点C作CE∥AB,连接DE.
设小正方形的边长均为1.
易得CE=,DE=,CD=,
∴DE=CE,CE2+DE2=10=CD2,
∴∠CED=90°,
∴∠EDC=∠ECD=45°.
∵CE∥AB,
∴∠1=∠DCE=45°,
∴sin∠1=.
12.如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2.
在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°,
则有sin60°=,解得BC1=.
在Rt△ABC2中,∠A=60°,AB=2,
则有tan60°=,解得BC2=2.
∴BC的取值范围是13.3或　 如图①,过点A作AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B=30°,AB=4,∴AD=AB=2,BD=AB·cos30°=4×=2.
在Rt△ACD中,∵AD=2,AC=,
∴DC===,
∴BC=BD+DC=2+=3;
如图②,同理可得,AD=AB=2,BD=AB·cos30°=4×=2,DC===,
∴BC=BD-DC=2-=.
综上所述,BC的长为3或.
14.解:(1)如图,过点D作DE⊥AB于点E,
则∠BED=∠C=90°.
∵AD平分∠BAC,∴DE=DC.
∵∠B=∠B,∠BED=∠C,
∴△BDE∽△BAC,
∴=.
∵AB∶BD=,
∴tan∠DAC====.
(2)∵tan∠DAC=,∴∠DAC=30°,
∴∠ADC=60°,∠BAD=∠DAC=30°,
∴∠B=30°,∴AD=BD=4,
∴CD=AD=2,AC=AD=2,
∴BC=6,
∴S△ABC=AC·BC=×2×6=6.
15.解:如图,连接OE,OD,DE,过点E作EH⊥AC于点H,过点O作OM⊥DE于点M.
设CD=BE=x.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AB=BC=6,
∴∠DOE=2∠ACB=120°,
∴∠DOM=∠EOM=60°.
在Rt△ODM中,∠OMD=90°,∠DOM=60°,
∴∠ODM=30°,
∴DM=OD,同理ME=OE,
∴DE=OD=OE=OC,
∴当DE最小时,OC的值最小.
在Rt△CEH中,∠EHC=90°,EC=6-x,∠ECH=60°,
∴∠CEH=30°,
∴CH=EC=3-x,EH=EC·sin60°=3-x,
∴DH=CD-CH=x-3-x=x-3,
∴DE====.
∵3>0,∴当x=3时,DE的值最小,最小值为3,
∴OC的最小值=DE=.
16. (1)如图,过点B作BE⊥DH于点E.
又∵AB⊥AH,DH⊥AH,
∴四边形ABEH是矩形,
∴∠EBA=90°,EH=AB=2 cm,
∴∠DBE=150°-90°=60°,
∴ED=BD·sin60°=(BC+CD)·sin 60°=37(cm),
∴DH=ED+EH=(37+2)cm.
解:(1)(37+2)
(2)如图,过点B作BE⊥DI于点E,过点C作CG⊥BE于点G,CK⊥DE于点K,
则四边形ABEI,CGEK为矩形,
∴EI=AB=2 cm,KE=CG,∠KCG=90°,∠ABE=90°.
又∵∠ABC=150°,
∴∠CBG=60°,
∴∠BCG=30°,
∴∠DCK=150°-30°-90°=30°,
∴DK=DC=×34=17(cm).
在Rt△CBG中,CG=BC·sin ∠CBG=40×=20(cm),
∴DI=DK+KE+EI=DK+CG+AB=17+20+2=(20+19)cm.
答:此时灯罩端点D离桌面l的高度DI为(20+19)cm.