苏科版数学九年级下册同步课时练习：7.6与仰角、俯角和方向角有关的问题（第3课时）(word版含答案）

第3课时　与仰角、俯角和方向角有关的问题
知识点 1　仰角和俯角
1.如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为 (　　)
A.800sinα米 B.800tanα米 C.米 D.米
2.[2020·南通] 如图,测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置,在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5 m,则建筑物AB的高度约为　　　　m.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
3.[2020·泰州] 如图,我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动,小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来,他在高出水面15 m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°;他登高6 m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°,则两次观测期间龙舟前进了多少米 (结果精确到1 m,参考数据:tan23°≈0.42,tan50°≈1.19)
知识点 2　方向角
4.[2020·大连] 如图,小明在一条东西走向公路的O处,测得图书馆A在他的北偏东60°方向,且与他相距200 m,则图书馆A到公路的距离AB为 (　　)
A.100 m B.100 m C.100 m D. m
5.[2021·海安模拟] 如图,某海监船以30海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为　　　　海里.
6.[2020·呼伦贝尔] A,B两地间有一段笔直的高速铁路,长度为100 km.某时发生的地震对地面上以点C为圆心,30 km为半径的圆形区域内的建筑物有影响.分别从A,B两地测得点C的方向角如图所示,tanα=1.776,tanβ=1.224.高速铁路是否会受到地震的影响 请通过计算说明理由.
7.如图,一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向上,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向上.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行　　　　小时即可到达.(结果保留根号)
8.如图是路灯在铅垂面内的示意图,灯芯A在地面上的照射区域BC的长为7米,从B,C两处测得灯芯A的仰角分别为α和β,且tanα=6,tanβ=1.灯芯A到地面的高度为　　　　米.若立柱DE的高为6米,灯杆DF与立柱DE的夹角∠D=120°,灯芯A到顶部F的距离为1米,且DF⊥AF,灯杆DF的长度为　　　　米.
9.[2020·镇江丹徒区模拟] 某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校数学兴趣小组在“研学旅行”活动中,在C处测得点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得BC=414 m,AB=300 m,求出点D到AB的距离.
(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
10.[2021·盐城期末] 如图,在一次数学综合实践活动中,小亮要测量一教学楼的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向教学楼方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60°,已知坡面CD=16米,山坡的坡度i=1∶,求楼房AB的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:≈1.73,≈1.41)
图
答案
第3课时　与仰角、俯角和方向角有关的问题
1.D　 由题中条件可知,在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=800米,tanα=,可得AB=米.
2.7.5　 如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
则DE=BC=5,DC=BE=1.5.
在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=,
∴AE=tan∠ADE·DE=tan50°×5≈1.19×5=5.95,
∴AB=AE+BE≈5.95+1.5≈7.5(米).
3.解:如图,根据题意,得∠C=23°,∠BDE=50°,AE=15 m,BE=AE+AB=21 m.
在Rt△ACE中,tanC=tan23°==≈0.42,解得CE≈35.7(m).
在Rt△BDE中,tan∠BDE=tan50°==≈1.19,解得DE≈17.6(m).
∴CD=CE-DE≈35.7-17.6=18.1≈18(m).
答:两次观测期间龙舟前进了约18 m.
4.A　 由题意,得∠AOB=90°-60°=30°,∴AB=OA=100(m).故选A.
5.60　 在Rt△PAB中,∠APB=30°,∴PB=2AB.
由题意,得BC=2AB,
∴PB=BC,∴∠C=∠CPB.
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°,
∴∠C=30°,∴PC=2PA.
∵PA=AB·tan60°,AB=30×1=30(海里),
∴PA=30×=30(海里),
∴PC=2×30=60(海里).
6.解:高速铁路不会受到地震的影响.理由:
如图,过点C作CD⊥AB于点D.
由图易得∠ACD=α,∠BCD=β,
∴tan∠ACD=tanα=,tan∠BCD=tanβ=,
∴AD=CD·tanα,BD=CD·tanβ.
由AD+BD=AB,得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100,则CD==>30,
∴高速铁路不会受到地震的影响.
7.　 如图,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,过点M作MN⊥AB,垂足为N.
由题意,得AB=60×1.5=90(海里).
设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向,可知∠PAQ=45°,
∴AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里.
在Rt△PBQ中,∠PBQ=90°-30°=60°,
∴tan60°=,即=,
解得x=135+45.
经检验,x=135+45是所列方程的解且符合题意.
在Rt△BMN中,∠MBN=90°-60°=30°,
∴BM=2MN=2×(135+45)=(270+90)海里,
∴航行时间为=(时).
8.6　　 如图,连接AD,过点A作AH⊥BC于点H.
设BH=x.∵tanα=6,tanβ=1,
∴AH=6x,HC=6x,则BC=7x.
∵BC=7,∴7x=7,
∴x=1,∴AH=6x=6(米).
∵DE⊥BC,∴DE∥AH.
∵DE=AH=6,∴四边形EHAD是矩形,∴∠ADE=90°,即∠FDA=∠FDE-∠ADE=30°.
∵AF=1,∴DF=AF=(米).
9.解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形EBFD是矩形,
∴DE=BF,BE=DF.
设DE=x m.在Rt△ADE中,∠AED=90°,
∵tan∠DAE=,
∴AE=≈ m,
∴BE≈300-m.
∵BF=DE=x m,∴CF=(414-x)m.
在Rt△CDF中,∵∠DFC=90°,∠DCF=45°,
∴DF=CF=(414-x)m.
∵BE=DF,∴300-=414-x.
解得x=214.
故点D到AB的距离约是214 m.
10.解:过点D作DG⊥BC,交BC的延长线于点G,DH⊥AB于点H,交AE于点F,作FP⊥BC于点P,如图所示.
易得四边形DGBH,DGPF都为矩形,
∴DG=FP=BH,DF=GP.
∵山坡的坡度i=1∶,
∴∠DCG=30°,
∴BH=FP=DG=CD=×16=8,
∴CG=DG=8.
∵∠FEP=60°,
∴FP=tan ∠FEP·EP=EP=8,
∴EP=,
∴DF=GP=CG+CE+EP=8+10+=+10.
∵∠AEB=60°,∴∠EAB=30°.
∵∠ADH=30°,∴∠DAH=60°,
∴∠DAF=30°=∠ADF,
∴AF=DF=+10,
∴FH=AF=+5,
∴AH=FH=16+5,
∴AB=AH+BH=16+5+8=24+5≈24+5×1.73≈32.7(米).
答:楼房AB的高度约为32.7米.