苏科版数学九年级下册同步课时练习：第5章 二次函数 小结与思考（含解析）

小结与思考
类型之一　二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
1.[2020·苏州吴江区期末] 抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(1,0)和点(0,-3),且顶点在第三象限,设m=a-b+c,则m的取值范围是 (　　)
A.-62.[2021·宿迁] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1A.1 B.2 C.3 D.4
3.[2020·南京] 有下列关于二次函数y2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图像与函数y=-x2的图像形状相同;②该函数的图像一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图像的顶点在函数y=x2+1的图像上.其中所有正确结论的序号是　　　　.
4.[2020·南京雨花台区期末] 已知二次函数y=(x-m)(x+m+4),其中m为常数.
(1)求证:不论m为何值,该二次函数的图像与x轴均有公共点;
(2)若A(-1,a)和B(n,b)是该二次函数图像上的两个不同的点,请判断a,b的大小关系.
类型之二　二次函数表达式的求法
5.[2020·苏州相城区期末] 已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它的表达式为 (　　)
A.y=2xB.y=-2x2+2x-4 C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-4
6.已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -3 -2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 -8 -9 -5 0 40 …
则该二次函数的表达式为　　　　　　　　　.
7.[2021·盐城] 已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0,-3)和(3,0).
(1)求a,h的值;
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线,直接写出新的抛物线相应的函数表达式.
类型之三　二次函数与一元二次方程之间的联系
8.[2020·荆门] 若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 (　　)
A.有两个大于1的不相等实数根
B.有两个小于1的不相等实数根
C.有一个大于1、另一个小于1的实数根
D.没有实数根
9.[2021·天门改编] 若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2,P为这条抛物线的顶点,则点P关于x轴的对称点的坐标是　　　　.
10.[2020·溧阳模拟] 在画二次函数y=ax2+bx+c的图像时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
x … -1 0 1 2 3 …
y甲 … 6 3 2 3 6 …
乙写错了常数项,列表如下:
x … -1 0 1 2 3 …
y乙 … -2 -1 2 7 14 …
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c,当x　　　　时,y随x的增大而增大;
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
类型之四　二次函数的实际应用
11.[2021·泰州] 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究,发现桃子成熟后一棵树上每个桃子的质量大致相同.以每棵树上桃子的数量x(个)为横坐标、桃子的平均质量y(克/个)为纵坐标,在平面直角坐标系中描出对应的点,发现这些点大致分布在直线AB附近(如图示).
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)市场调研发现:这个品种每个桃子的平均价格w(元)与平均质量y(克/个)满足函数表达式w=y+2.在(1)的情形下,求一棵树上桃子的数量为多少时,该树上的桃子销售额最大
类型之五　二次函数与几何知识的综合
12.如图已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2),B(1,0),C(2,1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)有公共点,则实数b的取值范围是 (　　)
A.b≤-2 B.b<-2 C.b≥-2 D.b>-2
13.[2021·江阴一模] 如图在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-4ax+2(a>0)交y轴于点A,B是点A关于对称轴的对称点,C是抛物线的顶点,若△ABC的外接圆经过原点O,则a的值为　　　　.
答案
小结与思考
1.A　 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(1,0)和点(0,-3),
∴c=-3,a+b+c=0,即b=3-a.
∵顶点在第三象限,
∴-<0.
又∵a>0,∴b>0,∴3-a>0,
即a<3.
∴0∵a-b+c=2a-6,
∴-62.C　 ①抛物线开口向上,则a>0,故正确;②由图像可知抛物线与x轴无交点,即b2-4ac<0,故错误;③由图像可知抛物线过点(1,1),(3,3),即当x=1时,y=a+b+c=1,当x=3时,y=9a+3b+c=3,∴8a+2b=2,即4a+b=1,故正确;④∵点(1,1),(3,3)在直线y=x上,由图像可知,当13.①②④　 ①∵二次函数y2+m2+1(m为常数)与函数y=-x2的二次项系数相同,∴该函数的图像与函数y=-x2的图像形状相同,故结论①正确;②∵在函数y2+m2+1中,令x=0,则y=-m2+m2+1=1,∴该函数的图像一定经过点(0,1),故结论②正确;③∵y2+m2+1,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;④∵抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,∴该函数的图像的顶点在函数y=x2+1的图像上,故结论④正确.
4.解:(1)证明:∵y=(x-m)(x+m+4)=x2+4,
∴b2-4ac=42-4×1×)=4m2+16m+16=4(m+2)2≥0,∴一元二次方程x2+4=0有两个实数根,
∴不论m为何值,该二次函数的图像与x轴均有公共点.
(2)∵y=(x-m)(x+m+4)=x2+4,
∴该函数图像的对称轴为直线x=-=-2,函数图像开口向上,
∴在直线x=-2的左侧,y随x的增大而减小;在直线x=-2的右侧,y随x的增大而增大.
∵A(-1,a)和B(n,b)是该二次函数图像上的两个不同的点,
∴当n=-3时,a=b;
当-3b;
当n<-3或n>-1时,a5.D　 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线过点(-2,0),(1,0),(2,8),将(-2,0),(1,0),(2,8)代入,得解得
∴抛物线的表达式为y=2x2+2x-4.
故选D.
6.y=x 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
将(-2,0),(0,-8),(4,0)代入得解得
∴二次函数的表达式为y=x
7.解:(1)将点(0,-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得
解得
(2)由(1),知该抛物线的表达式为y=(x-1)2-4,将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线相应的表达式为y=(x-2)2-2.
8.C
9.(2,4)
10.解:(1)由甲提供的数据可知当x=-1时,y=6;当x=0时,y=3;当x=1时,y=2,
∴解得
∵甲写错了一次项的系数,
∴由甲提供的数据得出的结论:a=1,c=3是正确的.
由乙提供的数据,可知当x=-1时,y=-2;当x=0时,y=-1;当x=1时,y=2,
∴解得
∵乙写错了常数项,∴由乙提供的数据得出的结论:a=1,b=2是正确的,
∴y=x2+2x+3.
(2)∵抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,且开口向上,
∴当x>-1时,y随x的增大而增大.
故答案为>-1.
(3)方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,
即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,
∴4-4(3-k)>0,解得k>2.
11.解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b.
将A,B代入可得
解得
∴直线AB的函数表达式为y=-x+500.
(2)将y=-x+500代入w=y+2中,可得w=+2,
化简,得w=-x+7.
设总销售额为z元,则z=wx=x
=-x2+7x
=-
=-+×2102
=-+735.
∵a=-<0,
∴z有最大值,当x=210时,z取到最大值,最大值为735.
故一棵树上桃子的数量为210个时,该树上的桃子销售额最大.
12.C　 把C(2,1)代入y=x2+bx+1,得22+2b+1=1,解得b=-2.故b的取值范围是b≥-2.故选C.
13.　 如图,连接OB交对称轴于点O',则O'为OB的中点.
抛物线y=ax2-4ax+2的对称轴为直线x=2.
易得A(0,2).
∵A,B关于对称轴对称,∴B(4,2).
∵△ABC的外接圆经过原点O,∠OAB=90°,
∴外接圆的圆心是线段OB的中点O',
∴O'(2,1).
∵OB==2,∴O'C=,
∴点C的坐标为(2,1-),
∴1-=4a-8a+2,
∴a=.