苏科版数学九年级下册同步课时练习：第6章图形的相似小结与思考（word版含答案）

小结与思考
类型之一　相似图形
1.[2020·徐州贾汪区期末] 观察下列各组图形,其中是相似图形的是 (　　)
2.[2021·淮安期末] 图纸上画出的某个工件的长为4 cm,如果比例尺为1∶30,那么此工件的实际长度为　　　　cm.
3.[2020·徐州] 如图,点B把线段AC分成两部分,如果=,那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
(1)在图①中,若AC=20 cm,则AB的长为　　　　cm;
(2)如图②,用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠到CE上,点B的对应点为H,得折痕CG.试说明:点G是AB的黄金分割点.
类型之二　相似三角形的判定与性质的综合应用
4.[2020·连云港连云区期末] 如图D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB.若AD=2,DB=7,EC=3,则AE的长是 (　　)
A. B.3 C.4 D.
5.[2020·苏州姑苏区一模] 如图在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 (　　)
A.3∶4 B.9∶16 C.9∶1 D.3∶1
6.[2020·南通] 如图在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于　　　　.
7.[2021·宿迁] 如图在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,
CE=2AE,BE交AD于点F,则△AFE的面积的最大值是　　　　.
8.[2020·苏州] 如图在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.
类型之三　相似三角形的实际应用
9.[2020·上海] 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图示意图)所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么AC为　　　　米.
10.如图小亮晚上在广场散步的示意图,图中线段AB表示站立在广场上的小亮,线段PO表示直立在广场上的灯杆,点P表示照明灯的位置.
(1)在小亮由B处沿BO方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为　　　　;
(2)请你在图中画出小亮站在B处时的影子;
(3)若小亮站在B处时与灯杆的距离OB=4.2 m,身高(AB)为1.6 m的小亮的影长为1.6 m,则当小亮离灯杆的距离OD=6 m时,小亮的影长是多少
类型之四　位似变换
11.[2021·高邮期末] 如图,△ABC的顶点坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(0,1).
(1)△ABC的外接圆的圆心M的坐标为　　　　.
(2)①以点M为位似中心,在网格中画出△DEF,使它与△ABC位似(点D与点A对应,点E与点B对应),且相似比为2∶1;
②△DEF的面积为　　　　.
类型之五　数学活动
12.[2020·宿迁] 【感知】如图①,在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,点E在边CD上,∠AEB=90°.求证:=.
【探究】如图②,在四边形ABCD中,∠C=∠ADC=90°,点E在边CD上,点F在边AD的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且=,连接BG交CD于点H.
求证:BH=GH.
【拓展】如图③,点E在四边形ABCD内,∠AEB+∠DEC=180°,且=,过点E作EF交AD于点F,若∠EFA=∠AEB,延长FE交BC于点G.求证:BG=CG.
答案
小结与思考
1.C　 任意两个正方形都是相似图形.故选C.
2.120　 根据比例尺=图上距离∶实际距离.设此工件的实际长度为x cm,
则1∶30=4∶x,
解得x=120.
3.解:(1)(10-10)
(2)延长EA,CG交于点M.
∵四边形ABCD为正方形,
∴DM∥BC,∴∠EMC=∠BCG.
由折叠的性质可知,∠ECM=∠BCG,
∴∠EMC=∠ECM,∴EM=EC.
由题意得DE=10,DC=20,
∴EC===10,
∴EM=10,∴DM=10+10.
∵∠D=∠B=90°,∠DMC=∠BCG,
∴△DMC∽△BCG,∴=,
即===.
∵AB=BC,∴=,
∴点G是AB的黄金分割点.
4.B　 ∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴=,即=,解得AE=3或AE=-6(舍去).故选B.
5.B　 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,∴△DEF∽△BAF.
∵DE∶EC=3∶1,∴DE∶DC=3∶4,
∴DE∶AB=3∶4,
∴S△DEF∶S△BAF=9∶16.
故选B.
6.　 ∵==,
==,==,
∴===,
∴△ABC∽△DEF,
∴==.
7.　 连接DE,如图.
∵CD=2BD,CE=2AE,∴==2,∴DE∥AB,
∴△CDE∽△CBA,△DEF∽△ABF,∴==,=,∴==.
∵DE∥AB,∴S△ABE=S△ABD,∴S△AEF=S△BDF,∴S△AEF=S△ABD.∵BD=BC=,
∴当AB⊥BD时,△ABD的面积最大,最大值=BD·AB=××4=,
∴△AEF的面积的最大值=×=.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,∴∠DAF=∠AEB.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°,
∴△ABE∽△DFA.
(2)∵E是BC的中点,BC=4,∴BE=2.
又∵AB=6,∠B=90°,
∴AE===2.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4.
∵△ABE∽△DFA,∴=,
∴DF===.
9.7　 ∵BD⊥AB,AC⊥AB,
∴BD∥AC,∴△ACE∽△BDE,
∴=,∴=,∴AC=7(米).
10. (1)因为光是沿直线传播的,所以在小亮由B处沿BO方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为逐渐变短.
解:(1)逐渐变短
(2)如图所示,BE即为所求.
(3)设OP=x m.
∵AB⊥OE,OP⊥OE,∴AB∥OP,
∴△AEB∽△PEO,∴=,
即=,解得x=5.8.
经检验,x=5.8是所列分式方程的解且符合题意.
作出小亮在D处的影子DF,如图.
当OD=6 m时,设小亮的影长DF=y m.
∵CD⊥OF,OP⊥OF,
∴CD∥OP,
∴△CFD∽△PFO,∴=,
即=,解得y=.
经检验,y=是所列分式方程的解且符合题意.
故小亮的影长是 m.
11.解:(1)如图,点M的坐标为(2,2).
(2)①如图,△DEF如图所示.
②4
12.解:【感知】证明:∵∠C=∠D=∠AEB=90°,
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°,
∴∠BEC=∠EAD,
∴Rt△AED∽Rt△EBC,∴=.
【探究】证明:如图①,过点G作GM⊥CD于点M.
同【感知】理,易得△GME∽△EDF,
∴=.
∵=,=,
∴=,∴=,
∴BC=GM.
又∵∠C=∠GMH=90°,∠CHB=∠MHG,
∴△BCH≌△GMH(AAS),
∴BH=GH.
【拓展】证明:如图②,在EG上取点M,使∠BME=∠AFE,过点C作CN∥BM,交EG的延长线于点N,则∠N=∠BMG.
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°,∠EFA=∠AEB,
∴∠EAF=∠BEM,∴△AEF∽△EBM,
∴=.
∵∠AEB+∠DEC=180°,∠EFA+∠EFD=180°,而∠EFA=∠AEB,
∴∠DEC=∠EFD.
∵∠BMG+∠BME=180°,∠AFE+∠EFD=180°,∠BME=∠AFE,∠N=∠BMG,
∴∠N=∠EFD.
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°,
∴∠EDF=∠CEN,∴△DEF∽△ECN,
∴=.
又∵=,∴=.
又∵=,∴=,
∴BM=CN.
又∵∠N=∠BMG,∠BGM=∠CGN,
∴△BGM≌△CGN(AAS),
∴BG=CG.