苏科版数学九年级下册期末综合复习专题训练　抛物线轴对称性的运用 （word版含答案）

专题训练　抛物线轴对称性的运用
　运用一　求对称轴或点的坐标
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴两交点的坐标分别为(2,0)和(-4,0),则该二次函数图像的对称轴是直线 (　　)
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
2.[2020·大连] 抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个交点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=1,则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是 (　　)
A.,0 B.(3,0) C.,0 D.(2,0)
3.[2020·泸州改编] 已知二次函数y=x2-2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图像经过不同两点A(1-b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图像与x轴有公共点,则点B的坐标为　　　　.
4.[2020·云南节选] 抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).
(1)求b,c的值;
(2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,当△ACF的周长最小时,直接写出点F的坐标.
5.[2020·陕西] 如图抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和,与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.
　运用二　求二次函数的表达式
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图像上,则这个二次函数的表达式为　　　　　　　　.
7.[2020·淄博节选] 如图在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,点B在y轴上,经过A(-2,0),B,C三点的抛物线y=ax2+bx+(a<0)与x轴的另一个交点为D,则这条抛物线对应的函数表达式为　　　　　　.
8.如图抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)求A,B,C三点的坐标和抛物线的函数表达式.
　运用三　解方程
9.如图抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=1,如果关于x的方程ax2+bx-8=0(a≠0)的一个根为4,那么该方程的另一个根为 (　　)
A.-4 B.-2 C.1 D.3
10.若二次函数y=-x2+k的部分图像如图示,则关于x的一元二次方程-x2+k=0的一个根是x1=2,另一个根是x2=　　　　.
11.若二次函数y=ax2+bx+c的图像的最低点的坐标为(1,-1),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1的根为　　　　.
　运用四　求自变量的取值范围
12.[2020·黔东南州] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 (　　)
A.-41 D.-313.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y<5时,x的取值范围是　　　　.
　运用五　比较函数值的大小
14.已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则 (　　)
A.y115.若二次函数y=x2-6x+c的图像经过A(-1,y1),B(2,y2),C(1+,y3)三点,则y1,y2,y3按从大到小的顺序排列是　　　　　　　.
　运用六　求图形的面积
16.若关于x的二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称,则顶点A和二次函数图像与x轴的两个交点B,C所构成的△ABC的面积为 (　　)
A.1 B.2 C. D.
17.如图☉O的半径为2,C1是函数y=2x2的图像,C2是函数y=-2x2的图像,则图中阴影部分的面积为　　　　.
18.已知函数y=其图像如图的实曲线部分,图像上两个最高点分别是A,B,连接AB,则图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积是　　　　.
答案
1.B　 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴两交点的坐标分别为(2,0)和(-4,0),∴该二次函数图像的对称轴是直线x==-1.故选B.
2.B　 设抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且x13.(5,9)　 由二次函数y=x2-2bx+2b2-4c的图像与x轴有公共点,得(-2b)2-4×1×(2b2-4c)≥0,即b2-4c≤0①.由抛物线的对称轴为直线x=b,抛物线经过不同两点A(1-b,m),B(2b+c,m),得b=,即,c=b-1②,②代入①,得b2-4(b-1)≤0,即(b-2)2≤0,∴(b-2)2=0,即b=2,∴c=b-1=2-1=1,∴抛物线的表达式为y=x2-4x+4.当x=2b+c=5时,m=9,∴点B的坐标为(5,9).
4.解:(1)把A,C两点的坐标代入抛物线的表达式,得
解得
(2)连接BC交抛物线的对称轴于点F,此时△ACF的周长最小,
由(1),知b=-2,c=-3,
∴抛物线的表达式为y=x
∴对称轴为直线x=1,令y=0,得x0,
解得x=-1或x=3,∴B(3,0).
设直线BC的表达式为y=kx+m(k≠0),
∴解得
∴直线BC的表达式为y=x-3,
当x=1时,y=
∴F(1,-2).
5.解:(1)将点(3,12)和代入表达式得解得
故抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
(2)由(1)可得抛物线的对称轴为直线x=-=-1.
令y=0,则x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,令x=0,则y=-3,
故点A,B的坐标分别为(-3,0),(1,0),
点C的坐标为(0,-3),故OA=OC=3.
由题意,得∠PDE=∠AOC=90°,
∴当PD=DE=3时,以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等,
设点P(m,n),当点P在抛物线对称轴右侧时,=3,
解得m=2,故n=22+2×2-3=5,故点P(2,5),
∴点E(-1,2)或(-1,8);
当点P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点P(-4,5),此时点E坐标同上.
综上,点P的坐标为(2,5)或(-4,5),点E的坐标为(-1,2)或(-1,8).
6.y=x2+x-　 ∵对称轴为直线x=-1,且图像与x轴交于A,B两点,AB=6,
∴图像与x轴的两个交点坐标分别为(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.
又∵顶点在函数y=2x的图像上,当x=-1时,y=2×(-1)=-2,
∴顶点坐标为.
设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-2.
把(2,0)代入,得0=9a-2,解得a=.
∴y=(x+1)2-2=x2+x-.
7.y=-x2+x+　 由题意,得OA=2=BC,BC∥OA,故抛物线的对称轴为直线x=1,则-=1①,
将点A的坐标代入抛物线的表达式得0=4a-2b+②,
联立①②并解得
故抛物线的表达式为y=-x2+x+.
8.解:(1)抛物线的对称轴为直线x=.
(2)由抛物线y=ax2-5ax+4可知C(0,4).
∵对称轴为直线x=,BC∥x轴,
∴BC=5,∴B(5,4).
又∵AC=BC=5,OC=4,
∴在Rt△AOC中,由勾股定理,得AO=3,
∴A(-3,0),B(5,4),C(0,4).
把点A的坐标代入y=ax2-5ax+4,
得0=9a+15a+4,
解得a=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+4.
9.B　 ∵关于x的方程ax2+bx-8=0有一个根为4,∴抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点坐标为(4,0).由抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=1可得抛物线y=ax2+bx-8的对称轴为直线x=1,∴抛物线y=ax2+bx-8与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),∴方程ax2+bx-8=0的另一个根为x=-2.故选B.
10.-2　 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),而抛物线的对称轴为y轴,所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),所以方程-x2+k=0的另一个根为x2=-2.
11.x1=x2=1
12.D　 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),由图像可知,当y<0时,x的取值范围是-313.014.C　 抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2,且开口向下,x=-2时取得最大值.
4)=22)=1,
∴y3∴y315.y1>y2>y3　 ∵二次函数y=x2-6x+c的图像开口向上,且对称轴为直线x=3,
∴点A(-1,y1),B(2,y2),C(1+,y3)都在对称轴的左侧,且y随x的增大而减小,
又∵-1<2<1+,∴y1>y2>y3.
16.A　 ∵二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称,
∴对称轴为直线x=m-1=0,
∴m=1,∴y=-x2+1,
∴顶点A的坐标为(0,1),抛物线与x轴的两个交点B,C的坐标分别为(1,0),(-1,0),
∴△ABC的面积=×2×1=1.故选A.
17.2π　 图中阴影部分的面积为半圆的面积,
∴图中阴影部分的面积为π×22=2π.
18.2　 如图,过点A作AD⊥x轴于点D,
过点B作BE⊥x轴于点E.
∵y=
∴A(-1,1),B(1,1),∴AB∥x轴,∴四边形ADEB是矩形,∴AB=2,AD=1,∴图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积=矩形ADEB的面积=2×1=2.故答案为2.