苏科版数学九年级下册期末综合复习专题训练 相似三角形基本模型 （word版含答案）

专题训练　相似三角形基本模型
　模型一　“X”形
1.[2020·盐城] 如图BC∥DE,且BC2.[2020·大连] 如图在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在边AD上,CE与BD相交于点F.设DE=x,BF=y,当0≤x≤8时,y关于x的函数表达式为　　　　　　.
3.[2020·扬州江都区模拟] 如图在 ABCD中,连接AC,延长AB至
点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G.
(1)求证:BF=CF;
(2)若DG=4,求FG的长.
　模型二　“A”形
4.[2020·南京建邺区模拟] 如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为(　　)
A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
5.[2020·盐城盐都区期末] 如图在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边上的一点,DE垂直平分AB,垂足为E.若AC=8,BC=6,则线段DE的长度为　　　　.
6.[2021·南京期末] 如图在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在边AB上,AM=3,过点M作直线MN与边AC交于点N,使截得的三角形与原三角形ABC相似,则MN的长为　　　　.
7.[2020·泰州] 如图在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为BC边上的动点(与点B,C不重合),PD∥AB,交AC于点D,连接AP,设CP=x,△ADP的面积为S.
(1)用含x的代数式表示AD的长;
(2)求S与x之间的函数表达式,并求当S随x的增大而减小时x的取值范围.
　模型三　“K”形
8.如图已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF.若DG=2,BG=6,则BE的长为　　　　.
10.[2020·雅安] 如图,已知边长为10的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与点B,C不重合),连接AE,G是BC延长线上的点,过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点F,已知FG⊥BG.
(1)求证:△ABE∽△EGF;
(2)若EC=2,求△CEF的面积;
(3)请直接写出EC为何值时,△CEF的面积最大.
　模型四　“共享”型
11.如图,在△ABC中,点D在AB边上,∠ABC=∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AD=2,AB=8,求AC的长.
12.[2020·泰兴模拟] 如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于点M,连接CM交DB于点N.
(1)求证:BD2=AD·CD;
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
答案
1.2　 ∵BC∥DE,∴△ADE∽△ABC,
∴==,
即==,
∴AB·DE=16.
∵AB+DE=10,BC∴===2.
2.y=　 在矩形ABCD中,AD∥BC,∴△DEF∽△BCF,∴=.
∵BD==10,BF=y,DE=x,∴DF=10-y,∴=,化简,得y=,∴y关于x的函数表达式为y=.
3.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵BE=AB,∴BE=CD.
∵AB∥CD,
∴∠E=∠CDF,∠EBF=∠DCF,
∴△EBF≌△DCF,
∴BF=CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴△FGC∽△DGA,
∴FG∶DG=CF∶AD.
∵BF=CF,∴CF=BC=AD,
∴FG∶DG=CF∶AD=1∶2,
即FG∶4=1∶2,
∴FG=2.
4.B　 过点D作DH∥EG交AB于点H,则△AEG∽△ADH,∴=.
∵EF⊥AC,∠C=90°,∴∠EFA=∠C=90°.
又∵∠EAF=∠DAC,∴△AEF∽△ADC,
∴=,∴=.
∵EG=EF,∴DH=CD.
设DH=x,则CD=x.
∵BC=12,∴BD=12-x.
∵EF⊥AC,EF⊥EG,DH∥EG,
∴EG∥AC∥DH,
∴△BDH∽△BCA,
∴=,即=,解得x=4,
∴CD=4.故选B.
5.　 ∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB==10.
∵DE垂直平分AB,
∴∠DEA=90°,AE=AB=5,
∴∠DEA=∠C.
又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,
∴=,即=,∴DE=.
6.4或6　 ∵△AMN和△ABC相似,
∴有两种情况:(1)如图①,△AMN∽△ABC,
∴=.
∵AM=3,BC=12,AB=9,
∴=,解得MN=4;
(2)如图②,△AMN∽△ACB,
∴=.
∵AM=3,AC=6,BC=12,
∴=,解得MN=6.
综上,MN的长为4或6.
7.解:(1)∵PD∥AB,∴=.
∵AC=3,BC=4,CP=x,
∴=,∴CD=x,
∴AD=AC-CD=3-x,
即AD=-x+3(0(2)根据题意,得S=AD·CP=x-x+3=-x2+x(0∵S=-x2+x=-(x-2)2+,
∴当x≥2时,S随x的增大而减小.
又∵08.B　 ∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴BC=AB=9,∠B=∠ADE=∠C=60°,
∴∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠CDF=120°,
∴∠BAD=∠CDF,∴△ABD∽△DCF,
∴=.
∵DC=BC-BD=6,
∴=,
∴CF=2.故选B.
9.2.8　 在菱形ABCD中,∠ABC=120°,BD为对角线,
所以∠FGE=∠A=60°,∠GBE=∠ABC=60°,
所以△ABD是等边三角形,所以∠FDG=60°.
因为DG=2,BG=6,所以BD=8,
所以AD=BD=8.
因为∠DFG+∠FGD=120°,∠FGD+∠BGE=120°,
所以∠DFG=∠BGE,
从而△FGD∽△GEB,
所以==.
设BE=x,则GE=AE=8-x,即=,所以FD=,
则FG=AF=8-.
由=,得=,解得x=2.8.
经检验,x=2.8是所列方程的解且符合题意,故BE=2.8.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,EF⊥AE,FG⊥BG,
∴∠B=∠EGF=∠AEF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠GEF=90°,
∴∠BAE=∠GEF.
又∵∠B=∠EGF=90°,
∴△ABE∽△EGF.
(2)∵AB=BC=10,CE=2,
∴BE=8.
∵CF平分∠DCG,∠DCG=90°,
∴∠FCG=45°.
∵∠EGF=90°,∴∠FCG=∠CFG,
∴FG=CG,
∴EG=CE+CG=2+FG.
由(1),知△ABE∽△EGF,
∴=,
∴=,∴FG=8,
∴S△CEF=CE·FG=×2×8=8.
(3)设EC=x,则BE=10-x,EG=CE+CG=x+FG.
由(1),知△ABE∽△EGF,
∴=,
∴=,∴FG=10-x,
∴S△CEF=×CE·FG=x·(10-x)=-(x-5)2+,
则当x=5时,S△CEF最大为.
即当EC=5时,△CEF的面积最大.
11.解:(1)证明:∵∠ABC=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACD.
(2)∵△ABC∽△ACD,
∴=,即=,
∴AC=4.
12.解:(1)证明:∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠BDC.
又∵∠ABD=∠BCD=90°,
∴△ABD∽△BCD,
∴=,
∴BD2=AD·CD.
(2)∵BM∥CD,∠BCD=90°,
∴∠MBC=90°,∠MBD=∠BDC.
由(1)知∠ADB=∠BDC,
∴∠ADB=∠MBD,
∴BM=MD.
∵∠MBA+∠MBD=∠ABD=90°,∠ADB+∠MAB=90°,
∴∠MAB=∠MBA.
又∵AD=8,∴AM=BM=MD=4.
∵BD2=AD·CD,CD=6,AD=8,
∴BD2=48,
∴BC2=BD2-CD2=12,
∴MC2=MB2+BC2=28,
∴MC=2(负值已舍去).
∵BM∥CD,
∴△MNB∽△CND,
∴===,∴=.
∵MC=2,
∴MN=.