苏科版数学九年级下册期末综合复习专题训练　盘点三角函数求值的方法技巧（word版、含解析）

专题训练　盘点三角函数求值的方法技巧
　技巧一　运用定义求锐角三角函数值
1.[2020·溧阳模拟] 如图Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=4,则cosB的值是(　　)
A. B. C. D.
2.[2020·天水] 如图示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是　　　　.
3.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5.
(1)求AB的长;
(2)求sinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB的值.
4.[2020·宿迁沭阳县期末] 如图在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,S△ABC=
27 cm2.求tanB的值.
　技巧二　巧设参数求锐角三角函数值
5.[2021·扬州宝应县期末] 已知∠A是锐角,且tanA=,则sinA的值是 (　　)
A. B. C. D.
6.在△ABC中,若AC∶BC∶AB=5∶12∶13,则 cosA的值为 (　　)
A. B. C. D.
7.[2020·东台期末] 已知:如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,求∠B的正弦值、余弦值和正切值.
8.如图在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,连接AD,BE⊥AD于点E,连接CE,∠DEC=∠BAC,若=,求tan∠BAE的值.
　技巧三　利用边角关系求锐角三角函数值
9.如图在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC的值为 (　　)
A. B. C. D.
10.[2020·盐城期末] 如图△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则tan∠ACB等于　　　　.
11.如图在△ABC中,AB=AC=4,∠C=72°,D是AB的中点,DE⊥AB交AC于点E,求cosA的值.
　技巧四　利用等角求锐角三角函数值
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=　　　　.
13.如图,已知CD是△ABC的高,BD=4AD,CD=2AD,E是BC上一点,EF⊥EA交AB于点F,AG=EG,求tan∠EFA的值.
14.[2020·武汉] 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠BAE;
(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.
答案
1.D　 ∵∠C=90°,AC=,AB=4,
∴BC==1,∴cosB==.
故选D.
2.　 如图,连接AB.
设小正方形的边长为1.
∵OA=AB=,OB=2,
∴OB2=OA2+AB2,∴∠OAB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,∴sin∠AOB=.
3.解:(1)AB==13.
(2)sinA==,cosA==,
tanA==,sinB==,
cosB==,tanB==.
4.解:如图,过点A作AH⊥BC于点H.
∵S△ABC=27 cm2,BC=9 cm,∴×9×AH=27,∴AH=6(cm).
∵AB=10 cm,∴BH==8 cm,
∴tanB===.
5.A　 在Rt△ABC中,∠C=90°,设a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则sinA=,
tanA=,a2+b2=c2.由tanA=知,如果设a=2x,则b=3x,结合a2+b2=c2得c=x,
∴sinA===.故选A.
6.B　 ∵在△ABC中,AC∶BC∶AB=5∶12∶13,∴可设AC=5x,则BC=12x,AB=13x.
∵(5x)2+(12x)2=(13x)2,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,
∴cosA===.
故选B.
7.解:∵∠C=90°,AC=2BC,
∴设BC=x,则AC=2x,
∴AB==x,
∴sinB===,
cosB===,
tanB===2.
8.解:在AD上截取AM=CE,连接BM,如图.
∵∠DEC=∠CAE+∠ECA,∠BAC=∠CAE+∠MAB,∠DEC=∠BAC,
∴∠MAB=∠ECA.
在△MAB和△ECA中,
∴△MAB≌△ECA(SAS),∴BM=AE.
∵=,
∴设CE=4a,则BM=AE=7a,
∴AM=CE=4a,∴ME=AE-AM=3a.
∵BE⊥AD,∴△BEM为直角三角形,
由勾股定理得BE===2a,
∴tan∠BAE===.
9.B　 连接BD.∵E,F分别是AB,AD的中点,∴BD=2EF=4.
又∵BC=5,CD=3,∴CD2+BD2=BC2,∴△BCD是直角三角形,∠BDC=90°,
∴tanC==.
10.3　 如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D.
设小正方形的边长均为1.
∵AB=5,AC==,BC==5,
∴AB=BC,∴CD=AC=.
∵S△ABC=15--×4×3=,
S△ABC=·AC·BD,
∴××BD=,
∴BD== .
在Rt△BCD中,tan∠ACB==3.
11.解:∵在△ABC中,AB=AC=4,∠C=72°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∴∠A=180BC=36°.
∵D是AB的中点,DE⊥AB,
∴AE=BE,AD=BD=AB=2,
∴∠ABE=∠A=36°,
∴∠BEC=∠A+∠ABE=72°=∠C=∠ABC,
∴BE=BC=AE.
设BC=AE=x,则CE=AC-AE=4-x.
∵∠ABC=∠BEC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△BEC,∴=,即=,
解得x1=2-2,x2=-2-2(舍去),
∴AE=2-2,∴cosA===.
12.　 如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB=AC=5,
∴BE=BC=×8=4,∠BAE=∠BAC.
∵∠BPC=∠BAC,
∴∠BPC=∠BAE.
在Rt△BAE中,由勾股定理,得AE==3.
∴tan∠BPC=tan∠BAE==.
13.解:设AD=x(x>0),则CD=2x,BD=4x.
∵CD为△ABC的高,
∴∠CDB=∠CDA=90°.
∵==2,
∴△ADC∽△CDB,∴∠CAD=∠BCD.
∵∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.
∵AG=GE,∴CG=AG=GE.
∵EF⊥EA,∴∠EFA+∠DAE=90°.
∵∠DAE+∠AGD=90°,
∴∠AGD=∠EFA.
在Rt△AGD中,设DG=t,则AG=CG=2x-t.
∵x2+t2=(2x-t)2,
∴t=x,
∴tan∠AGD===,
∴tan∠EFA=.
14.解:(1)证明:连接OD,如图.
∵DE为☉O的切线,∴OD⊥DE.
∵DE⊥AE,∴OD∥AE,
∴∠1=∠ODA.
∵OA=OD,∴∠2=∠ODA,
∴∠1=∠2,∴AD平分∠BAE.
(2)连接BD,如图.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵∠2+∠ABD=90°,∠3+∠ABD=90°,
∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.
∵sin∠1=,sin∠3=,DE=CD,
∴AD=BC.
设CD=x,BC=AD=y.
∵∠DCB=∠BCA,∠3=∠2,
∴△CDB∽△CBA,
∴CD∶BC=BC∶CA,
即x∶y=y∶(x+y),
整理得x2+xy-y2=0,
解得x=y或x=y(舍去),
∴sin∠3===,
即sin∠BAC的值为.