苏科版数学九年级下册期末综合复习专题训练 二次函数与几何小综合 （word版含答案）

专题训练　二次函数与几何小综合
　类型一　二次函数与三角形
1.[2020·泰州海陵区期末] 如图抛物线y=x2+3x+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连接BC,AC,则△ABC的面积为 (　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
2.[2020·张家界节选] 如图抛物线y=ax2-6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=-x+5经过点B,C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P,连接AC,AP,判定△APC的形状,并说明理由.
　类型二　二次函数与四边形
3.[2020·无锡滨湖区期末] 如图正方形ABCD的顶点C,D在x轴上,点A,B恰好在二次函数y=2x2-4的图像上,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.6 　　　　　B.8 C.10 　　　　　D.12
4.[2020·无锡] 如图在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线OA交二次函数y=x2的图像于点A,∠AOB=90°,点B在该二次函数的图像上,设过点(0,m)(其中m>0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M,交直线OB于点N,以线段OM,ON为邻边作矩形OMPN.
(1)若点A的横坐标为8,
①用含m的代数式表示点M的坐标.
②点P能否落在该二次函数的图像上 若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
(2)当m=2时,若点P恰好落在该二次函数的图像上,请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式.
(注:若两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相垂直,则k1k2=-1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　类型三　二次函数与圆
5.如图抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ,则线段OQ的最大值是　　　　.
6.[2020·宜宾] 如图已知二次函数的图像顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图像上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M,N两点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)P为平面内一点,当△PMN是等边三角形时,求点P的坐标.
(3)在二次函数的图像上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和点N,且与直线y=-1相切.若存在,求出点E的坐标和☉E的半径;若不存在,请说明理由.
　类型四　二次函数与不规则图形
7.如图示,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q.
(1)求抛物线m的函数表达式.
(2)求图中阴影部分的面积.
(3)若B(-2,n)是抛物线m上的一点,则在抛物线m的对称轴上,是否存在一点D,使得△BDO的周长最小 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
1.C　 当y=0时,0=x2+3x+4,解得x1=-2,x2=-4.当x=0时,y=4,∴点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,4),∴AB=(-2=2,OC=4,∴△ABC的面积为AB·OC=×2×4=4.故选C.
2.解:(1)∵直线y=-x+5经过点B,C,
当x=0时,可得y=5,即点C的坐标为(0,5).
当y=0时,可得x=5,即点B的坐标为(5,0).
∴解得
∴该抛物线的函数表达式为y=x2-6x+5.
(2)△APC为直角三角形.理由如下:
∵点P在抛物线的对称轴上,
∴PA=PB.
∵点C的坐标为(0,5),点B的坐标为(5,0),
∴OB=CO=5.
又∵∠COB=90°,∴∠ABP=45°.
∵PA=PB,∴∠PAB=∠ABP=45°,
∴∠APB=180°-45°-45°=90°.
∴∠APC=180°-90°=90°.
∴△APC为直角三角形.
3.B　 由图形的轴对称性,得OD=OC,S阴影=S矩形BCOE,设点B的坐标为(n,2n)(n>0).∵点B在二次函数y=2x2-4的图像上,
∴2n=2n2-4,解得n1=2,n2=-1(舍去),
∴点B的坐标为(2,4),
∴S阴影=S矩形BCOE=2×4=8.故选B.
4.解:(1)①∵点A在二次函数y=x2的图像上,其横坐标为8,∴A(8,16),
∴直线OA的函数表达式为y=2x.
∵点M的纵坐标为m,∴Mm,m.
②能.
∵∠AOB=90°,
∴直线OB的函数表达式为y=-x.
∵点N在直线OB上,其纵坐标为m,
∴N(-2m,m),
∴线段MN的中点的坐标为-m,m,
∴P-m,2m.
把点P的坐标代入二次函数的表达式,
得2m=×-m2,
解得m1=,m2=0(不合题意,舍去),
∴m=.
(2)设Aa,a2,
∴直线OA的函数表达式为y=ax,
∴M,2.
∵OB⊥OA,
∴直线OB的函数表达式为y=-x,
∴N-,2,∴P-,4.
把点P的坐标代入二次函数的表达式,得-2=4,
解得a=4±4或a=-4±4,
∴直线OA的函数表达式为y=(±1)x或y=-(±1)x.
5.3.5　 令y=x2-4=0,则x=±4,故点B(4,0),设圆的半径为r,则r=2,连接PB,而Q,O分别为AP,AB的中点,故OQ是△ABP的中位线,当B,C,P三点共线,且点C在点P,B之间时,PB最大,此时OQ最大,则OQ=BP=(BC+r)=(+2)=3.5.
6.解:(1)∵二次函数的图像顶点在原点,故设二次函数的表达式为y=ax2.
将(2,1)代入上式并解得a=,
故二次函数的表达式为y=x2.
(2)将y=1代入y=x2并解得x=±2,
故点M,N的坐标分别为(-2,1),(2,1),
则MN=4.
∵△PMN是等边三角形,
∴点P在y轴上且PM=4,∴PF=2.
∵点F(0,1),
∴点P的坐标为(0,1+2)或(0,1-2).
(3)存在.
由题意,得点E在FN的垂直平分线上,
∴点E是FN的垂直平分线与二次函数y=x2图像的交点.
∵F(0,1),N(2,1),∴点E的横坐标为1,
∴其纵坐标y=×12=,
则点E1,,∴EN==,点E到直线y=-1的距离为=,
故存在点E,点E的坐标为1,,☉E的半径为.
7.解:(1)设抛物线m的函数表达式为y=x2+bx+c.
∵它经过点A(-6,0)和原点O(0,0),
将A,O两点的坐标代入抛物线m的表达式,得解得
∴抛物线m的函数表达式为y=x2+3x.
(2)连接OP,OQ.
∵y=x2+3x=(x+3)2-,
∴P-3,-.
对于函数y=x2,
当x=-3时,y=×(-3)2=,
∴点Q的坐标为-3,,
故P,Q两点关于x轴对称,
∴S阴影部分=S△POQ=×3×9=.
(3)存在.
把B(-2,n)代入抛物线m的表达式y=x2+3x,得n=×(-2)2+3×(-2)=-4,
∴点B的坐标为.
设直线AB的函数表达式是y=kx+b'.
把A(-6,0)和B分别代入,
得解得
∴直线AB的函数表达式是y
∵点A,O关于抛物线m的对称轴直线x=-3对称,故直线AB与直线x=-3的交点就是使△BDO的周长最小时的点D.
当x=-3时,
∴点D的坐标为.