3.1.1数系的扩充与复数的概念 学案

高二年级数学学科问题导学案
课题：3.1.1数系的扩充与复数的概念
课题：3.1.1数系的扩充与复数的概念
【学习目标】
（1）了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件，了解复数的代数表示方法
【学习重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【学习过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程x+1=0，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？　

问题2：类比引进 ，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解的问题呢？

问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，尝试用韦恩图表示出来
3.练习：
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+ 2i , 0.618 ， 2i/7 , 0， 5 i +8, 3-9 i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：


归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：

练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di _____________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________
例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．
四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i，求x与y.
2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.
3.1.2复数的几何意义
【学习目标】
，理解复数的几何意义，了解共轭复数的简单性质
【教学重难点】
复数与从原点出发的向量的对应关系
【教学过程】
一、复习回顾
问题1：复数集是实数集与虚数集的什么 ？
问题2：实数集与纯虚数集的交集是什么 ？
问题3：纯虚数集:与虚数集的关系是什么？
问题4：:设复数集C为全集，那么实数集的补集是什么？
问题5：a，b．c．d∈R，a+bi=c+di
问题6:a=0是z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的 条件
二、学生活动
1、阅读课本相关内容，并完成下面题目
（1）、复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是 的 （2）、 叫做复平面， x轴叫做 ，y轴叫做
（3）、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 复平面内的点 平面向量
（4）、共轭复数
（5）、复数z=a+bi(a、b∈R)的模
2讨论回答
（1）复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
（2）复数的几何意义你是怎样理解的？
（3）复数的模与向量的模有什么联系？
（4）你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？
3、练习反馈
（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i
（2）、已知复数z=3-4i，z =，试比较它们模的大小。
（3）、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为
（4）满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？满足|z|=1(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
三、归纳总结、提升拓展
例1．（2007年辽宁卷）若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.
例3.设Z为纯虚数，且，求复数
四、反馈训练、巩固落实
判断正误
实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
（2） 若|z1|=|z2|，则z1=z2
（3） 若|z1|= z1，则z1>0
2、（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知a，判断z=所对应的点在第几象限
4、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数
例2图
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