函数的单调性的教学设计
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文档简介
“函数的单调性”的教学设计
一、课标分析
课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。落实《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《函数的单调性》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，取得了较好的教学效果。
二、教材分析
（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，学习函数，要经常观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决函数的单调性中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。
（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。
三、学生分析
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述 如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
四、教学目标
知识目标：（1）通过已学过的函数，理解函数的单调性；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。
能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.
德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.
五、重点难点
重点：函数的单调性定义（从形到数，从文字语言到符号语言）；
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
六、方法策略
教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：
启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。
探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。
合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。
七、教具选择
板书与多媒体的有机整合展示，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点，帮助学生更容易找寻其中的规律，获得更大的创新空间。
八、 教学过程
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
导入新课 1分钟 开门见山引出课题 教师引言：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的性质。（板书课题：函数的单调性） 明确学习内容且向学生渗透研究函数问题的一般方法。 讲授法 用实物投影将学生画的图象进行展示
新授课 10分钟 对函数的单调性有感性的认识 1、函数的单调性问题1：请学生画出下列函数的图象。[实物投影]（1）（2）（3）问题2：以上函数图象中哪部分从左到右看是上升的，哪部分是从左向右看是下降的？问题3：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？并能说出“图象呈逐渐下降趋势”的意思吗？从图像引出“随着自变量的增大函数值增大”，为进一步转化成符号语言做准备教师提出“单调增函数、单调减函数”两名词；请学生看教材对单调增、减函数的具体定义。教师板书定义，讲清几个关键词“任意”“都有” 检查学生对函数图象的掌握情况考察学生的观察能力，培养学生的数学表达能力让学生自己去领悟、思考、记忆概念 演示法启发式 对函数图象的增、减情况用动画演示，增加直观性、提高学生兴趣让学生口述教师板书
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
新授课 6分钟 理解增、减函数的定义了解单调函数、单调区间的概念 ①怎样描述在区间[0，2]上，当x增大时，函数y的值也增大？②能不能说由于x = 1,y = 3；x =2时，y = 5就说随着x的增大而增大？板书：一般地，设函数的定义域为A，区间IA：如果对于区间I内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。[2、单调函数、单调区间[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数在这个区间上具有单调性。这一区间叫做的单调增（减）区间。[设问3]：说出上述函数，，的单调区间。 强化教学重点，加强对知识的记忆把握概念的本质介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。 探究教学合作学习 关键词：“任意”、“都有”同时可举实例帮助学生理解，判断函数在区间[a,b]上的增、减情况对函数的单调区间学生易错写成的形式，
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
新 授课 能运用函数单调性的概念结合图象判断函数的单调性并写出单调区间 问题2：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。 3、函数单调性的证明教师过渡语言：要了解函数某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据函数单调性的定义进行证明。[设问4]：请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？ 使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性；并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。渗透用图象法研究函数的思想方法 启发式教学谈话法 故加以澄清并举反例加以说明题目及图形的给出用实物投影1、对[设问4]的思考、回答可借助于具体函数：在R上为增函数的证明为例。
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
新 授课 12分钟 能运用函数的单调性定义进行证明函数在某一区间上的单调性能灵活运用概念证题 例题：证明函数在上是增函数。板书：证题详细过程。师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：（1）设是给定区间上的任意两个值，且；（2）作差变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；（3）确定的符号；（4）下结论。引导讨论：由上例能不能写出函数y=1/x的单调区间并证明？板书：证明详细过程。 提出问题、创设情境，培养学生积极思考、快速把握问题实质的良好思维品质。加深学生对函数单调性定义的理解，规范解题格式培养学生归纳总结的能力调动学生参与讨论、培养学生的发散思维、开阔学生解题思路 探究教学讨论法 2、例题中的注意点：①解题格式②防止循环论证③作差同“0”比教师强调，以后若函数在两个区间同时递增，决不能把两区间并起来作为单调递增区间教师一板一眼地具体板书，并不得遗漏任何一个步骤及细节
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
课堂练习 7分钟 巩固函数单调性的概念及证明的方法 练习：1、课本68页练习（17）2、判断函数在上是单调增函数还是单调减函数？3、求函数y=(x+2)/(x+1)的单调区间 及时反馈，检查知识的落实情况 合作学习 学生证明结果在实物投影上展示
课后小结 3分钟 强调教学目标突出教学重点 1．如果对于定义域内的任意两个自变量的值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。2．利用定义证明函数的单调性常通过确定的符号判断与的大小。 使学生在头脑中的知识结构得到提炼、帮助掌握重点内容 谈话法 让学生来小结、回顾
布置作业 1分钟 课后进一步掌握、巩固概念方法 课本68页：练习 17 18 19思考题：判断函数在区间上的单调性。 培养学生独立解决问题的能力 练习法 思考题要求较高作为选做题
教学后记 ⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面。 当然，情境应符合实际，这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展。⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用。
深圳市电子技术学校 黄美德老师
2007年12月12日
x
y
o
a
b
1
1
2
2
-2
-2
-1
-1
-3
-3
3
3
-4
-5
4
5
O
X
Y
一、课标分析
课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。落实《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《函数的单调性》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，取得了较好的教学效果。
二、教材分析
（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，学习函数，要经常观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决函数的单调性中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。
（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。
因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。
三、学生分析
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述 如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
四、教学目标
知识目标：（1）通过已学过的函数，理解函数的单调性；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。
能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.
德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.
五、重点难点
重点：函数的单调性定义（从形到数，从文字语言到符号语言）；
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
六、方法策略
教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：
启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。
探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。
合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。
七、教具选择
板书与多媒体的有机整合展示，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点，帮助学生更容易找寻其中的规律，获得更大的创新空间。
八、 教学过程
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
导入新课 1分钟 开门见山引出课题 教师引言：前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的性质。（板书课题：函数的单调性） 明确学习内容且向学生渗透研究函数问题的一般方法。 讲授法 用实物投影将学生画的图象进行展示
新授课 10分钟 对函数的单调性有感性的认识 1、函数的单调性问题1：请学生画出下列函数的图象。[实物投影]（1）（2）（3）问题2：以上函数图象中哪部分从左到右看是上升的，哪部分是从左向右看是下降的？问题3：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？并能说出“图象呈逐渐下降趋势”的意思吗？从图像引出“随着自变量的增大函数值增大”，为进一步转化成符号语言做准备教师提出“单调增函数、单调减函数”两名词；请学生看教材对单调增、减函数的具体定义。教师板书定义，讲清几个关键词“任意”“都有” 检查学生对函数图象的掌握情况考察学生的观察能力，培养学生的数学表达能力让学生自己去领悟、思考、记忆概念 演示法启发式 对函数图象的增、减情况用动画演示，增加直观性、提高学生兴趣让学生口述教师板书
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
新授课 6分钟 理解增、减函数的定义了解单调函数、单调区间的概念 ①怎样描述在区间[0，2]上，当x增大时，函数y的值也增大？②能不能说由于x = 1,y = 3；x =2时，y = 5就说随着x的增大而增大？板书：一般地，设函数的定义域为A，区间IA：如果对于区间I内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。[2、单调函数、单调区间[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数在某个区间上是单调增函数（单调减函数），那么就说函数在这个区间上具有单调性。这一区间叫做的单调增（减）区间。[设问3]：说出上述函数，，的单调区间。 强化教学重点，加强对知识的记忆把握概念的本质介绍相关概念，使学生进一步理解单调性的概念。 探究教学合作学习 关键词：“任意”、“都有”同时可举实例帮助学生理解，判断函数在区间[a,b]上的增、减情况对函数的单调区间学生易错写成的形式，
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
新 授课 能运用函数单调性的概念结合图象判断函数的单调性并写出单调区间 问题2：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。 3、函数单调性的证明教师过渡语言：要了解函数某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据函数单调性的定义进行证明。[设问4]：请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？ 使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性；并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。渗透用图象法研究函数的思想方法 启发式教学谈话法 故加以澄清并举反例加以说明题目及图形的给出用实物投影1、对[设问4]的思考、回答可借助于具体函数：在R上为增函数的证明为例。
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
新 授课 12分钟 能运用函数的单调性定义进行证明函数在某一区间上的单调性能灵活运用概念证题 例题：证明函数在上是增函数。板书：证题详细过程。师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：（1）设是给定区间上的任意两个值，且；（2）作差变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；（3）确定的符号；（4）下结论。引导讨论：由上例能不能写出函数y=1/x的单调区间并证明？板书：证明详细过程。 提出问题、创设情境，培养学生积极思考、快速把握问题实质的良好思维品质。加深学生对函数单调性定义的理解，规范解题格式培养学生归纳总结的能力调动学生参与讨论、培养学生的发散思维、开阔学生解题思路 探究教学讨论法 2、例题中的注意点：①解题格式②防止循环论证③作差同“0”比教师强调，以后若函数在两个区间同时递增，决不能把两区间并起来作为单调递增区间教师一板一眼地具体板书，并不得遗漏任何一个步骤及细节
教学环节 教学时间 教学目的 教学呈现 设计意图 教学方法 说明
课堂练习 7分钟 巩固函数单调性的概念及证明的方法 练习：1、课本68页练习（17）2、判断函数在上是单调增函数还是单调减函数？3、求函数y=(x+2)/(x+1)的单调区间 及时反馈，检查知识的落实情况 合作学习 学生证明结果在实物投影上展示
课后小结 3分钟 强调教学目标突出教学重点 1．如果对于定义域内的任意两个自变量的值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。2．利用定义证明函数的单调性常通过确定的符号判断与的大小。 使学生在头脑中的知识结构得到提炼、帮助掌握重点内容 谈话法 让学生来小结、回顾
布置作业 1分钟 课后进一步掌握、巩固概念方法 课本68页：练习 17 18 19思考题：判断函数在区间上的单调性。 培养学生独立解决问题的能力 练习法 思考题要求较高作为选做题
教学后记 ⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面。 当然，情境应符合实际，这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展。⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用。
深圳市电子技术学校 黄美德老师
2007年12月12日
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